关于Diophantine方程(36n)~x+(323n)~y=(325n)~z的整数解

Jesmanowicz猜想Diophantine方程(na)~x+(nb)~y=(nc)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),其中a,b,c是两两互素的正整数且满足a~2+b~2=c~2。主要运用简单同余法、奇偶分析法、二次剩余理论以及分类讨论等初等方法,证明了对任意的正整数n,Diophantine方程(36n)~x+(323n)~y=(325n)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。即证明了:当(a,b,c)=(36,323,325)时Jesmanowicz猜想成立。     

关于丢番图方程(44n)~x+(117n)~y=(125n)~z

显然丢番图方程(na)~x+(nb)~y=(nc)~z有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).1956年,■manowicz猜想该方程仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).该文主要运用奇偶分析法、简单同余法以及二次剩余理论等方法,证明了当(a,b,c)=(44,117,125)时,■manowicz猜想成立.     

关于丢番图方程(20n)~x+(99n)~y=(101n)~z

利用初等方法证明了对任意的正整数n,丢番图方程(20n)~x+(99n)~y=(101n)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。从而得知Jesmanowicz猜想在该情形下成立。     

关于丢番图方程（48n）x+（55n）y=（73n）z*

利用初等的方法证明了对任意的正整数n,丢番图方程(48n)~x+(55n)~y=(73n)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),从而得知Jesmanowicz猜想在该情形下成立。     

丢番图方程(8a3-3a)x+(3a2-1)y=(4a2-1)z的正整数解

设a是大于3的正整数.作者应用Jacobi符号的性质和(两个)代数数对数线性型的下界估计,证明了指数丢番图方程(8a~3-3a)~x+(3a~2-1)~y=(4a~2-1)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,1,3).     

关于丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z(c=65,89,101)

设a,b,c为两两互素的正整数且满足a2+b2=c2.1956年,Je?manowicz猜测丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z仅有正整数解x=y=z=2.此利用初等方法证明了:对于任意的正整数n,除去x=y=z=2外,丢番图方程(56n)x+(33n)y=(65n)z,(80n)x+(39n)y=(89n)z和(20n)x+(99n)y=(101n)z无其他的正整数解,即当(a,b,c)=(56,33,65),(80,39,89)和(20,99,101)时,Je?manowicz猜想成立.     

关于丢番图方程(65n)~x +(72n)~y =(97n)~z

本文证明了对任意的正整数n,丢番图方程(65n)x+(72n)y=(97n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).     

关于商高数2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1(Ⅱ)

Jesmanowicz曾经猜测方程(a~2-b~2)~x+2ab~y=(a~2+b~2)~z的正整数解仅有x=y=z=2.对于这一猜测,其中最引人注意的是a=n+1,b=n的情形,即方程     

关于丢番图方程(16n)~x+(63n)~y=(65n)~z

设n是正整数,运用初等方法证明了丢番图方程(16n)x+(63n)y=(65n)z仅有整数解(x,y,z)=(2,2,2),从而得到了Jesmanowicz猜想在该情形下成立.     

关于Diophantine方程(91n)~x+(4140n)~y=(4141n)~z

1956年Jes'manowícz猜测Diophantine方程(na)x+(nb)y=(nc)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),其中a,b,c是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2。利用初等方法证明了对任意的正整数n,当a=7·13,b=22·32·5·23,c=41·101时,Jes'manowícz猜想成立。     

关于商高数

1.Sierpinski证明了方程3~x+4~y=5~z除x=y=z=2外,无其他正整数解。Jesmanowicz提出猜测:(H)对于正整数a,b,c,x,y,z,如果有a~2+b~2=c~2和a~x+b~y=c~z,     

丢番图方程(8a3-3a)2x+(3a-1)y=(4a-1)z

应用Bilu，Hanrot和Voutier关于本原素因子的深刻理论及二次数域类数的一些结果证明了丢番图方程(8a3-3a)2x+(3a2-1)y=(4a2-1)z仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,3).     

关于丢番图方程(45n)~x+(28n)~y=(53n)~z的解

利用初等方法证明了,对于任意的正整数n,丢翻图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z仅有x=y=z=2正整数解.     

关于丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z(c=181,845)的解

研究了Jes'manowicz提出的关于丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z的解的猜想.利用数论中的一些方法,得到了丢番图方程(19 n)x+(180 n)y=(181 n)z和(837 n)x+(116 n)y=(845n)z的所有整数解,证明了Jes'manowicz猜想在这两种情形下的正确性.     

关于丢番图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z的解

利用初等方法证明了,对于任意的正整数 , 丢翻图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z仅有x=y=z=2正整数解.     

丢番图方程ax~4+by~4=cz~2的解法

对正整数a,b,c给出了丢番图方程ax4+by4=cz2当(a,b,c)=(2,3,5)时的全部正整数解,结合佟瑞洲关于(a,b,c)=(5,3,2)时方程ax4+by4=cz2的结果,我们给出了丢番图方程ax4+by4=cz2当min{a,b,c}>1且max{a,b,c}≤5时的全部正整数解.从而拓展了Mordell等人关于ax4+by4=cz2的结果.     

丢番图方程(8a3-3a)2x +(3a2-1)y=(4a2-1)z

应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素因子的深刻理论及二次数域类数的一些结果证明了丢番图方程(8a3-3a)2x+(3a2-1)y=(4a2-1)z仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,3).     

关于丢番图方程x2+b2y1=c2z1的解

设s,t∈N+,(s,t)=1,s>t,且a=2st,b=s2-t2,c=s2+t2.用初等方法证明了当c为素数幂时,丢番图方程x2+b2y1=c2z1仅有正整数解(x,y1,z1)=(a,1,1),推广了相关结果.     

关于Je'smanowicz猜想的一个注记

本文用初等方法证明了如下结论;设s=3n,n≡1、3、5(mod8),t≡2(mod4),且 s、t均不含有4K 1形素因子,刚Diophantus方程 (s~2-t~2)~x (2st)~y=(s~2 t~2)~z (1)(其中s>t>0,(s,t)=1,s t≡l(mod2)在y>1时,仅有正整数解x=y=z=2。     

幂比较法在不定方程中的应用

利用幂比较法证明了:①当a为正偶数、b为正奇数时,不定方程a~x-b~y=1最多有1组正整数解(x,y);②方程x~y-(x-1)~z=1仅有正整数解(x,y,z)=(1,s,t),(2,1,t),(r,1,1)和(3,2,3),其中r,s,t为任意正整数且r≥3.同时推出不定方程2~x-3~y=1仅有正整数解(x,y)=(2,1),不定方程2 018~x-2 019~y=1无正整数解以及不定方程3~x-2~y=1仅有正整数解(x,y)=(1,1),(2,3).