同阶子群个数之集为{1,3,p+1}的有限群

设G是有限群，n(G)表示同阶子群个数组成的集合.本文刻画了n(G)={1, 3,p+1}时有限群G的结构，其中p为奇素数.     

有限群的最小子群覆盖

设p为素数,G是非循环有限群,群G的最小子群覆盖所包含的子群个数记为n(G),群G的最小循环子群覆盖所包含的子群个数记为nc(G),群G的最小Abel子群覆盖所包含的子群个数记为na(G),则3≤n(G)≤|G|-1,nc(Cp×…×Cp)m个=pm-1 … p 1(m≥2),nc(Cpr×Cp)=r(p-1) 2(r≥1),na(Cpr×Cps)=p 1(r≥s≥1).     

有限核(2)-群

一个群G被称为核(m)-群当且仅当对G的任意子群H,|H∶HG|至多可以表示成m个素数的乘积。证明了如果有限群G是核(m)-群,那么G是可解群,且G的Fitting子群在G中的指数至多是5个素数的乘积。进一步证明了如果有限超可解群G是有限核(2)-群,且群G存在极小正规子群N 是阶为p3的初等交换子群,那么则存在素数p,q,使得G有交换正规子群A满足 |G∶A||2pq,并且G至多只有4个互不同构的西洛子群不正规。
     

关于Srinivasan的一个定理的推广

本文证明了下述主要定理: 设G为有限群.若对每一个素数p|G|,G的每个p-sylow子群S有mp个极大子群在G中S一半正规,且其中至少有两个在G中次正规,则G超可解,其中m_p>1,d_p=2 P~d_p~(-2)-1/P-1,d_p>2式中dp为S的最小生成元个数本定理推广了Srinivasan.S[1]及张来武在[3]中的有关结果.     

关于有限群的可解性

本文的主要结果如下: 令G为有限群,p是|G|的一个奇素因子,P是Sylow p—子群,假设下述条件之一成立: (1)包含P的所有非正规子群有Sylow塔,并且当N_G(P)≠G时,N_G(P)为p—幂零。 (2)N_G(P)是Hall幂零奇阶子群,并且包含N_G(P)的所有真子群有sylow塔。那么G是可解的。     

有关CC-子群的一些性质

设G为有限群,H≤G．称H为G的一个CC-子群,如果对任意的1≠x∈H,都有CG（x）≤H．讨论这类群的一些基本性质,得到了： 定理2 设G为有限群．若Z（G）≠1,则G的CC-子群唯一． 定理3 若G为单群,则G的CC-子群个数不等于2． 定理4 若｜G｜—pq^n（p〈q,其中p,q为素数）,则G的CC-子群个数必为奇数且不等于3．     

具有特殊循环子群个数的有限群

设G为有限群,C(G)为G的循环子群的集合.|C(G)|对G的结构有一定的影响.例如,G为初等交换2-群当且仅当|C(G)|=|G|.一些作者已经分类了满足|G|-|C(G)|≤3的群.利用循环子群个数与|G|的等式关系,分类了所有满足|G|-|C(G)|=4的有限群.     

最高阶元素个数为4p~2的有限群是可解群

研究了最高阶元素个数对有限群结构的影响.运用群阶的素因子,k阶循环子群共轭类的长,以及K3-单群和K4-单群的有关结论,证明了最高阶元素个数为|M(G)|=4p2的有限群G是可解群,其中p是素数.     

群的s*-拟正规性及其性质

称群G的子群H为G的s^-拟正规子群，如果G中存在p-Sylow子群与H可换，其中p为|G|的任意素数因子．本讨论了s^-拟正规子群的性质并给出一个群为可解群的一些条件．     

有限可解群的新刻画

在文献[3]的基础上,给出有限群极大子群的CI-截的3个性质,并得到有限群可解的3种新刻画:设G是有限群,如果G在Fs(G)中的极大子群的CI-截同构,则G可解;若p是|G|的一个素因子,对于群G的极大子群M∈Fps(G),M的CI-截的阶都是qarb,则G可解,其中q, r是两个不同于p的固定素数;设H是群G的S-拟正规子群,如果对于G的每个极大子群M,满足HM时,M的CI-截幂零,则H可解.     

p3阶非循环子群都同构的奇阶有限p-群

应用亚循环p-群与正则p-群等p-群相关知识,给出p3阶非循环子群都同构的奇阶有限p-群的类型为初等交换p-群或亚循环P-群.     

3p~2阶群的g函数值

文章讨论了与Thompson猜想相关的同阶型群的问题,两个有限群阶型相同是否同构的问题,并且对有限群G,定义了G的g函数值g(G),表示与群G的阶型相同的有限群的同构类类数。本文利用3p~2阶群的结构完全分类,通过计算得出所有3p~2阶群的阶型,对任一3p~2阶群M,得出了M的g函数值。特别地,在3p~2阶群中找到了g函数值为2的群,即阶为3p~2的群中存在一对不同构的群,但它们阶型相同。这里p为奇素数。     

自同构群A（G）的阶为2p的群G的结构

自同构群A（G）由群G所决定,然而，由A（G）的阶确定G的结构仍相当复杂，利用有限群G的自同构群A（G）的性质来刻画G的结构，得到了｜A（G）｜=2p的有限群G在同构意义下的主要结果．     

关于有限群的s-半正规子群Ⅱ

有限群G的一个子群H称为在G中s-半正规,如果H同G的所有阶与1H1互素的Sylow子群相乘可换．研究了s-半正规子群的一些基本性质和它们是如何影响群结构的．主要结果如下：(1)假设N是有限群G的一个正规子群使得G／N是p-幂零群,其中P为|G|的素因数并且(|G|,p-1)=1.如果N的一个Sylow p-子群Np的所有极大子群都在G中s-半正规,则G是p-幂零群．(2)假设N是有限群G的一个正规子群使得G／N是超可解群．如果N的每个Sylow子群的全体极大子群都在G中s-半正规,则G是超可解群．     

Sylow子群的极大子群皆s-半正规的有限群

子群H称为在有限群G中s 半正规,若H同G的所有阶互素于｜H｜的Sylow子群可换.主要结果如下:有限群G的所有Sylow子群及其极大子群都在G中s 半正规的充要条件是G的所有阶互素的Sylow子群之极大子群互相可换并且G的每个主因子H/R是素数阶的,若｜H/R｜=p,则｜G/CG(H/R) ｜=qb,其中素数q使qb 整除p- 1 .     

含有一类幂零子群的有限群

令Ｇ是一个有限群，Ｐ是一个固定奇素数．Ｍ＜Ｇ表示Ｍ是Ｇ的真子群．记Ｊ２（Ｇ）＝（Ｍ：Ｍ＜Ｇ，｜Ｇ：Ｍ｜非素数幂，且｜Ｇ：Ｍ｜，＝１｝．本文讨论当Ｊ２（Ｇ）的元皆为幂零群时Ｇ的结构．     

关于强半正规性

引入了关于有限群的子群的一个新概念:H≤G,H的每Sylow子群在G内半正规,则称H在G内强-半正规.利用这一概念,我们证明了如下的结果:(1)群G中,强-半正规的极大子群是超可解的,且在G中有素数指数.(2)存在强-半正规极大子群的群是可解群.(3)若群G的极大子群M强-半正规,且M的每Sylow子群的极大子群在G内半正规,则G超可解     

自同构群的阶为2~tp~2(p为奇素数)的有限Abel群G

利用有限Abel群G的自同构群的阶和有限Abel群的性质,研究了自同构群A(G)阶为2tp2(t=1,2,3,p为奇素数)的有限Abel群G的构造.获得以下结果:当t=1时,G最多有4型;当t=2时,G最多有12型;当t=3时,G最多有21型.     

有限群Sylow子群的个数的一个注记

推广张继平关于Sylow数的研究结果,证明有限群 Sylow  r-子群的个数为2pn,p为奇素数且n≥1,当且仅当2pn=1+r2m.