矩阵最小多项式求法探讨

矩阵的最小多项式在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的应用.于是最小多项式求法也极为重要.本文着重研究最小多项式的若干求法.     

最小多项式的性质及其应用

给出矩阵A的最小多项式m(λ)的两个性质：(1)n阶矩阵A的全体实系数多项式所成的线性空间W的维数等于A的最小多项式m(λ)的次数k；(2)对于次数大于零的任意多项式f(λ)，f（A)为非退化的充分必要条件是f(λ)与m（λ)互素．并举例说明了矩阵最小多项式在解决某些问题时的有效性．     

哈密尔顿-凯莱定理的应用研究

本文介绍利用哈密尔顿-凯莱定理把矩阵A的伴随矩阵、逆矩阵表示成A的多项式方法，给出求最小多项式的方法；并借助哈密尔顿-凯莱定理给出计算矩阵多项式和矩阵高次幂的一般方法．最后利用哈密尔顿-凯莱定理证明有关矩阵多项式等于零的问题．     

矩阵最小多项式的性质及它的一种初等求法

讨论了矩阵最小多项式的几条性质，并利用线性相关的概念，给出了最小多项式的一种初等求法，该方法与其他方法^[3,4]相比更为简单，计算量更小。     

伴随阵的最小多项式和Jordan标准形

Ａ是数域Ｆ上ｎ阶方阵，文中给出用Ａ的最小多项式来表示Ａ的伴随阵的最小多项式的表达式，以及由Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形表示出Ａ之伴随的Ｊｏｒｄａｎ标准形的方法。     

矩阵最小多项式的初等变换法

给出了计算矩阵的最小多项式和向量关于矩阵的最小多项式的初等变换法。     

求解一元多项式最大公因式的结矩阵算法

应用结矩阵和结多项式性质,引入结最小多项式和标准结基解矩阵等概念,探讨了结矩阵、结多项式与求解一元多项式最大公因式的关系。给出一种求解一无多项式的最大公因式新方法,该方法仅利用结矩阵便可求得多项式的最大公因式。     

最小公倍式矩阵求法的推广

利用多项式矩阵的概念及其有关性质,得到了一种利用数域上矩阵的初等变换求多个多项式的最小公倍式的方法．     

关于最小公倍式的矩阵求法

给出了一个求多项式的最小公倍式的新方法——矩阵求法，应用这个方法，在一个多项式矩阵上仅施行初等行变换。即可同时求出两个多项式的最大公因式和最小公倍式．     

求矩阵最小多项式的一种方法及其应用

利用矩阵的秩来确定矩阵A的最小多项式的一种方法，以及最小多项式在求解常系数齐线性微分方程组中的应用．     

关于置换矩阵的最小多项式

设π(S_i)是一个S_i×S_i循环置换阵,[λ~(s1)-1,…,λ~(st-1)-1,λ~(st)-1]表示λ~(s1)-1,…,λ~(st-1)-1,λ~(st)-1表示的最小公倍式。本文首先指出,任何一个n×n置换矩阵P是相似于矩阵 diag(I_k,π(S_1),…,π(S_1),…,π(S_t),…,π(S_t))的,这里k sum from i=1 to t (k_iS_i)=n。之后我们证明了P的最小多项式 m_p(λ)=[λ~(s1)-1,…,λ~(st-1)-1,λ~(st)-1]。     

多项式互质与可控性分析

讨论了一类单输入线性定常系统和多输入线性定常系统完全可控的多项式判据,通过多项式组的互质性即可判断线性系统的可控性,同时讨论了可控性矩阵可逆的条件及逆阵的求法.     

AHP中排序的一种广义最小偏差法

提出了一类新的广义最小偏差法,研究了其性质,并给出了收敛性迭代算法和仿真算例。     

多项式Bezout矩阵束

文章利用代数的方法研究了一般基下的多项式Bezout矩阵,从多项式Bezout矩阵和联合友矩阵的块对角化出发,得出了多项式Bezout矩阵与联合友矩阵转置的任意非负整数次幂乘积的块对角化,证明了多项式Bezout矩阵与联合友矩阵的转置的任意非负整数次幂的乘积的线性组合仍是多项式Bezout矩阵,给出了多项式Bezout矩阵束的概念,并用数值例子进行了验证。     

关于不确定性AHP中权的最小偏差二乘法

根据不确定性AHP中判断矩阵构造的特点 ,在A为一致性判断矩阵的条件下 ,将数字判断矩阵确定权向量的最小偏差二乘法加以推广 ,得到不确定区间数判断矩阵最小偏差的二乘法 ,并建立了不确定区间数判断矩阵最小偏差二乘法收敛性迭代算法 ,通过与IME方法的比较 ,证实了所给的方法的合理性和可行性。     

最大公因数与最小公倍数的矩阵求法

本文通过讨论，给出一个求两个整数的最大公因数和最小公倍数的矩阵求法。经过整数矩阵的初等变换，可在一个整数矩阵上同时求得（m,n）与[m,n]。这个方法有助于求解整数的标准分解式。     

解矩阵方程的一种多项式预处理技术

先引入多项式预处理技术,用一次插值多项式法构造出一个合理的多项式预处理矩阵并对矩阵方程进行预处理,这样不仅可以缩小矩阵的奇异值的分布范围,而且能达到改善其奇异值比的目的;然后给出了新的算法,并分析了该算法的收敛速率的估计式,此估计式表明,只要采用恰当的预处理技术就可显著地提高迭代法的收敛速度;最后给出了数值例子,结果说明经过预处理后的矩阵方程比原来的矩阵方程的收敛速度更快,这充分表明了矩阵方程在多项式结构的预处理矩阵下求解速度的优越性,也说明通过一次插值多项式的构造来选取预处理矩阵是可行的.