Lower Bound for Ideal Class Numbers of Real Quadratic Function Fields

Thetheoryofcontinuedfractionsofalgebraicfunctionswillbeusedtogiveageneraltheoremonlowerboundsforclassnumbersofrealquadraticfunctionfields.Theboundsaregivenmoreexplicitlyforsixtypesofrealquadraticfunctionfields.Continuedfractionstheoryisaveryefficientwaytostudyrealquadraticnumberfields.Artin[1]usedcontinuedfractionstostudyquadraticfunctionfields.WangandZhang[2]re-developedthetheoryofcontinuedfractionsofalgebraicfunctionsinanelementaryandpracticablewayandstudiedsomeoftheirproperties.Supposethat…     

实二次域关联的丢番图方程的解

设m为无平方因子有理正整数,c为整数,方程x~2-my~2=c (1)的整数解问题,与实二次域Q(m~(1/2))及分圓域Q(ζ_m)的实子域的类数密切相关,文献[1—7]均由研究此方程得出了有关类数结果,且对特别的m和较小的c值,得出了方程(1)可解的     

Fundamental Unit System and Class Number for Real Number Fields of Type (2,2,2)

Introduction　　Arealquadraticfieldk=Q(D0)iscalledanERD-typeifitsdiscriminantD0canberepresentedasD0=N2±r,wherer|4N.OnecanfindthefundamentalunitofanERD-fieldexplicitly.ForexamplesseeRefs.[14].AfieldKofdegree2niscalledoftype(2,2…,2)(nfold)ifKcanbeexpressedasacompositionofnquadraticnumberfieldsanditsGaloisgroupisGal(K/Q)≌(Z/2Z)n.WadadevelopedamethodtocomputethefundamentalunitsofK[5].Followingthismethod,Frei[1,2]andLiu[3]determinedthefundamentalunitsofthefieldsK=Q(D2 md,D2 nd)explic…     

Ideal Class Groups and Subgroups of Real Quadratic Function Fields

ZhangandWashington[1]studiedalgebraicquadraticnumberfieldsF=Q(d)andpresentedanecessaryandsufficientconditionfortheidealclassgroupH(F)ofanyrealfieldF=Q(d)tohaveacyclicsubgroupofordern.EightseriesofsuchfieldsFweregivenexplicitlybyutilizingthetheoryofcontinuedfractions.AllthesefieldsFareERD-typeorGERD-type,thatis,thediscriminatesdareoftheformd=N2 n,wheren|4Norn|2mN(m≥2)(ForthepropertiesofGERD-typefields,wereferthereaderstoRef.[2]).Inthepresentnote,westudyalgebraicfunctionfieldsK,givean…     

费尔马大定理－－怀尔斯的证明

三个多世纪的著名数学难题，费尔马大定理，已被普林斯顿大学的怀尔斯证明，并已获大浆。震撼数学界的历史事件引起世界各界广泛热烈关注。本文浅要地介绍整个事件的概况与传奇历史，获奖情况与各家评论及影响意义，怀尔斯的生平和特点，历尽曲折的八年证明中的故事，也在最后介绍有关的现代数学知识和怀尔斯的证明思路，并附较全的资料信息源。     

(2,2,…,2)型数域的判别式密度

型数域即是n个二次域合成的Q的2~n次扩域。问题是计算绝对判别式等于d(以及小于X)的这种域的个数J~n(d)(以及N_n(X))。Baily[Baily, A., J. reine angew. Math., 315(1980),190—210;328(1981),33—38]分别对n=2和3解决了此问题。本文在对这种域的结构研究的基     

Abel q-域的分类和素理想分解

设q为任意素数,Galois群为Abel q-群(即阶为q幂的Abel群)的Abel数域称为q-域。本文给出在Abel q-域L中的素分解规律,域L的分类、惯性群、剩余类次数和判别式等。这些结果系统完整地发展了关于(2,…,2),(q,…,q)和(q~s,…,q~s)等型数域的许多文献中的结果,后者原都是用各别方法得出的。     

实二次域的方程与半单和最小连分数

本文将利用半单(广义)连分数理论研究丢番图方程x~2-dy~2=c (1)给出简洁的可解判则及解集合.由这些结果可推出一系列实二次域类群的结构及改进著名的Cohen-Lenstra预测.最后讨论最小连分数.我们总设d为无平方因子正整数,c为整数.方程(1)的整数解问题与实二次域K=Q(d~(1/2)) 和d次分圆域的最大实子域的类数有很密切的关系,自Gauss始有不少人研究.但以往的结果多是对给定的c值,给出计算步骤判断是否有解及解出;对使方程有解的c值集合少有刻画.Ankeny,Chowla,Hasse,S.D.Lang,Takeuchi,Yokoi和Mollin等从1965年直到最近,对一些ERD型的d,给出可解的小范围的c值集(如当|C|≤2d~(1/2)等,并利用结果得出实二次域K和分圆域类数结果(见文献[1]中文献).文献[1]     

一般三次循环数域的类数同余公式

设K 为有理数域Q 的任意三次循环扩张,其类数为h,导子为f,特征群为〈X〉.存在单位E=(x+y■+■)/3,x∈Z,y∈Q(■),使得E 及其共轭及-1生成K 的单位群,其中■=∑X(a)exp(2πi/f)~a 为Guss 和.记iv 为Teichmüller 特征(modp),X_n=Xiv~(-n),e=(p-1)/3.我们证明了■(modp),其中p∈Z 为任意素数,3≠p|f,常数c=(x~3-27)/(fx~3)-y■/x~2.特别,当f=p为素数时,hc≡3/4B■B~(2■)(modp),这里B■(B_■,x)为(广义)Bernoulli 数.对p■f 也得到类似的公式.