非线性常微分方程数值解的渐近表示以及应用

对于非线性常微分方程一般不存在解析解,但是通过数值方法发现,有些非线性常微分方程的振荡渐近解是有规律的.因此,可以用最小二乘法等方法对这些数值解拟合出渐近解,在此基础上,再通过理论分析得出更具体的结果,为非线性微分方程的研究提供了一种途径.为了提高计算精度、避免计算过程出现崩溃,我们引入了数值解的函数变换和自变量变换的方法,这也保证了数值结果的可靠性.本文通过对数值解的渐近表示,验证了Painlevé方程振荡渐近解的一些现有结果,并得出一些新的结果.     

关于一类Huygens算子的注记

对线性双曲型偏微分算子P(u)=utt 2b0(t)u-△u-2^n∑i=1 bi(x)uxi-c(x)u，给出Hadamard基本解按测地距离展开的系数Ek(t，x；s，y)(k=0，1，2，…)与P(u)的系数较直接的关系，从而以E(n-1)/2(t，x；s，y)为Huygens算子的等价条件，解析了Veselov和Berest给出的一类Huygens算子与Stellmacher算子的关系．     

关于正规双曲方程组的不完全Huygens现象

文中将不完全Ｈｕｙｇｅｎｓ现象这一概念推广到双正规曲型方程组上，并给出了几个定理和例子     

第三类Painleve方程解的渐近性态分析

通过数值方法,结合理论分析,给出了第三类Painlev啨方程y″=y′2y-y′x+1x(αy2+β)+γy3+δy.振荡渐近解的表达形式:当δ>0,γ<0时,y=A+B｜x｜-1/2cos(a｜x｜+bln｜x｜+c)+O(｜x｜-1,x→±∞;当δ=0,γ<0时,y=｜x｜-1/3[A+B｜x｜-1/3cos(a｜x｜2/3+bln｜x｜+c)]+O(x-1),x→±∞;当δ>0,γ=0时,y=｜x｜1/3[A+B｜x｜-1/3cos(a｜x｜2/3+bln｜x｜+c)]+O(｜x｜-1/3),x→±∞.     

第四类Painlevé方程解的渐近性态分析

近年来关于Painlev啨方程解的渐近性态有了许多结果,但对第四类Painlev啨　　y″=y′22y+32y3+4xy2+2(x2-α)y+βy方程解的渐近性态的研究并不多.给出一类振荡渐近解的表达形式:　　y=-23x+Bcos(33x2+bln|x|+c)+O(|x|-1),x→±∞.     

阶形杆纵向振动的最优控制

讨论了阶形杆纵向振动的一类最优控制问题，并给出一种算法，通过计算机仿真表明这一算清和最优控制效果的有效性。     

第五类Painleve方程解的渐近性态分析

首先对Painleve方程求出数值解，然后用最小二乘法拟合出最佳渐近解，对最佳渐近解的表达式形式，用谐波平衡法方法得到振荡渐近解与参数之间的依赖关系．先前用此方法已对第三、四类Painleve方程的振荡渐近解做了一些研究．当参数α，β，δ，γ满足一些条件时，用同样的方法，对第五类Painleve方程给出了渐近解的形式，并找出这类渐近解与参数之间的关系．