关于亚纯函数与其各级导数的公共波莱耳方向问题的一些结果

若 f(z)为有穷正级的亚纯函数,则 f(z)的每一条 Borel 方向或者是 f~(n)(z)(n=1,2,…)的Borel 方向,或者是(1/(f(z)))~(n)(n=1,2,…)的 Borel 方向;用此结果简化了张广厚一个结果的证明:有穷正级亚纯函数若以一个有穷值为 Borel 例外值,则函数的每条 Borel 方向也是有各级导数的 Borel 方向;同时还得到:若 f(z)为有穷正极的亚纯函数,且(?)(log+m(r,f))/(logr)=ρ-ε_0,ε_0>0则 f(z)的每一条 Borel 方向必是 f~(n)(z)的 Borel 方向(n=1,2…)。     

函数沿射线的增长与公共Borel方向

关于亚纯函数与其导数之间的公共Borel方向的研究,是函数值分布论中多年来所研究的一个课题。庄圻泰先生和张广厚同志对此曾得到了一系列的结果,其中之一是张广厚得到了有穷正级亚纯函数,若以无穷值为它的Borel例外值,则函数与其各级导数和各重积分(假设存在)之间至少存在一条公共的Borel方向。本文指出在同样条件下,若函数f(z)的级ρ大于1/2,则函数与其各级导数和各重积分(假设存在)之间至少存在两条公共Borel方向。     

ρ级射线及其与Borel方向分布间的关系

设 f(z)是ρ(0<ρ<+∞)级整函数。对某一固定的θ,若(log~+log~+|f(re~(iθ))|)/(logr)=ρ,则称 L_∶argz=θ为 f(z)的一条ρ级射线。ρ级射线充满的角域称为 f(z)的ρ级射线角域。我们得到如下的结果:1.f(z)至少存在一个ρ级射线角域,而每个角域的开度不小于π/ρ,2.对每一θ,0≤θ<2π,有(log~+log~+|f(re~(iθ))|)/(logr)=(log~+log~+|f′(re~(iθ))|)/(logr)。3.f(z)的所有 Borel 方向必位于ρ级射线角域之内或边界上。设 p 为 f(z)的ρ级射线角域的个数,q 为它的 Borel 方向的个数。4.若 p <2ρ,则q≥p+1。5.若 p+1<2ρ,且 q=p+1,则 f(z)的每二相邻的 Borel 方向间的夹角,除一个外,都等于π/ρ。     

ρ级射线及其与Borel方向分布间的关系

设f(z)是ρ(0<ρ< ∞)级整函数。对某一固定的θ,若 lim_(r→∞)9log~ log~ |f(rei~θ)|)/logr=ρ则称 L_θ:argz=θ为f(z)的一条ρ级射线。ρ级射线充满的角域称为,f(z)的ρ级射线角城。我们得到如下的结果:1.f(z)至少存在一个ρ级射线角域,而每个角域的开度不小于π/ρ, 2.对每一θ,0≤θ<2π,有 lim_(r→∞)(log~ log~ |f(rei~θ)|)/logr= lim_(r→∞)(log~ log~ |f′(rei~θ)|)/logr。 3.f(z)的所有Borel方向必位于ρ级射线角域之内或边界上。设ρ为f(z)的ρ级射线角域的个数,q为它的Borel方向的个数。 4.若p<2ρ,则q≥p 1。 5.若p 1<2p,且q=p 1,则,f(z)的每二相邻的Borel方向间的夹角,除一个外,都等于π/ρ。     

关于公共Borel方向的一些讨论

设f(z)为有限正级的亚纯函数,B:argz=θ是f(z)的一条Borel方向,本文给出B是f’(z)和f~(n)(z),n=1,2,…的Borel方向的充分条件。