哥德尔不完全性定理剖析

介绍了哥德尔不完全性定理,论述了它的由来与意义。     

也谈正确理解哥德尔不完全性定理——与陈慕泽先生商榷

就陈慕泽先生对《禁止使用自指代命题》关于哥德尔不完全性定理的质疑提出的批驳做出回应。认为陈先生回避要害,无视作者对哥德尔证明中双重标准之矛盾的分析和揭露,其批驳存在自相矛盾、循环论证和转移辩题的问题。还专门采用陈先生的符号,对哥德尔定理结论1和2的证明进行分析和批判,再次解释哥德尔定理的结论可以完全正确,但应该理解成:哥德尔所构造的不可判定公式违反逻辑,必须禁止在无矛盾的形式系统中使用。同时,还分析了现有主流学派对哥德尔定理结论的种种误解,提出重建逻辑学公理系统的主张。     

以哥德尔不完全性定理认识偶数哥德巴赫猜想

哥德尔不完全性定理第一次破天荒地分清了数学中“真”与“可证”是两个完全不同的概念,揭示了形式化方法不可避免的局限性。对于偶数哥德巴赫猜想这一未决的数学难题,可以跳出形式化方法的局限性,以一种新的思维去认识它。     

数学史上的哲学绝唱——无穷观与数学基础的争论

面对集合论中存在的悖论,罗素、布劳威尔、希尔伯特等数学大师各自提出了不同哲学主张和解决方案,展开了激烈的争论,形成了逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学派.哥德尔的不完全性定理终结了数学家追求绝对可靠的数学基础的幻想,同时使人们对无穷的认识达到了一个更高的境界.     

不完全性定理对人类思想的影响

哥德尔不完全性定理是数理逻辑中的一个定理,1931年奥地利逻辑、数学家克尔特·哥德尔(Kun Godel)发现并证明.这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想,从根本上澄清了作为一个整体的数学不可形式化的本质.而且哥德尔定理产生的影响已远远超出数学的范围,他从根本上改变了我们对"真理"的认识和对世界的认识,不了解哥德尔就不了解人类已达到的智力水平与人类智力奋斗的历程,也就无法了解我们这个世界在思想观念上已经发生或正在发生的深刻变化.     

说谎者悖论的排除和哥德尔定理的质疑

说谎者悖论是一个佯悖。它之所以被称为悖论,是因为推理者混淆了思维的层次,构造了自指代命题并进行代换才导致矛盾。把"自指代命题"从"自指命题"中区分出来,指出前者违反同一律,作代换还可能违反矛盾律,主张禁止使用自指代命题。还指出哥德尔所构造的自指代命题存在矛盾的双重标准,它的证法采用了双重标准,是错误的。哥德尔定理的结论中的"不可判定"命题,现在有3种不同的错误解释:是非不可分辨的命题(三值)、是非可分辨(二值)但不确定的命题、是非都不可证的任意命题,它们都不是哥德尔的证法所支持的结论。还指出它不会导致"真理丧失说"和"数学丧失了确定性",但还应充分肯定哥德尔的历史功绩。     

哥德尔不完全定理与数学认知的局限性——基于递归论解读哥德尔不完全定理

哥德尔不完全定理揭示了数学认知的局限性,任何一个含有初等数论及一阶谓词逻辑的形式证明系统中,都存在这样的命题,在此(封闭)系统中,依靠系统中的公理及一阶逻辑演算方法,既不能证明该命题为真,也不能证明它为假。哥德尔在定理的证明中开启可计算理论(递归论)之门,用现在成熟递归论的结果重新认识哥德尔不完全定理,使其变得更容易接受。近年来,机器学习取得突破性成果,由此引发有关人工智能是否可以完全代替人的思维能力等热点问题讨论。针对这一问题,如果承认"人工智能"是在一个交互计算系统中完成的,那么哥德尔不完全定理给出的是否定回答。     

对哥德尔不完全性定理的质疑

[目的]考察Gdel不完全性定理证明的有效性及存在性问题。[方法]以"逻辑先后律"思维原则作为剖析工具,揭示相关观点和论证的错误。[结果]①与Gdel原证法本质上相同的形式化证明,均存在歧义谬误。②关于对哥德尔证明的解释,其错误是,真意指判断句,不可证意指被判断句,即二者并非意指同一命题。[结论]①与Gdel原证法本质上相同的形式化证明,都是无效的;在这类证明的基础上,该定理的相关推论的证明也都是无效的。②既是真的又是不可证的命题是不存在的。③Gdel不完全性定理不可能成立,该定理的相关推论也不可能成立。     

迈向数学机械化:从塔斯基到王浩

介绍了哥德尔不完备定理如何使希尔伯特定理判定问题研究陷入困境.评价了塔斯基在理论上给出了定理判定的方法意义.特别指出是王浩首次在计算机上实现了高效证明定理的方法,并明确提出“迈向数学机械化”.     

浅谈微分中值定理的应用

介绍了常用的微分中值定理罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理,论述微分中值定值在证明方程根的存在性、证明等式、证明不等式、研究函数的性质、求近似值或估计误差、求极限等6个方面的应用,从而加深对微分中值定理的理解。     

Godel不完备性定理的非形式化论述

研究了对现代数理逻辑与形式系统公理化方法有着深远影响及重大意义的Godel不完备性定理 1和定理 2 ,给出了 Godel不完备性定理证明的一种非形式化论述 .非形式化地阐述了 Godel不完备性定理证明的基本思想 ,论述了 Godel不完备性定理证明在方法论上的特色及其深远影响     

命题公式集F(S)在Godel系统中的一个24类分划

将基于R0-蕴涵算子按确定集分类的方法推广到Godel系统中,在Godel系统中引入确定集的概念,并按不同确定集对Godel系统中的公式集F(S)进行分类,得到F(S)在Godel系统中的一个24类分划.证明这种划分关于┐是同余的.     

G(o)del宇宙模型的一个近似解

通过对G(o)del宇宙基本性质的分析,求得了弱场条件下其Einstein方程近似解,并对该解进行了分析.     

微分中值定理的逆问题

研究了Lagrange定理和Taylor定理的逆问题，证明了在一定的条件下，Lagrange定理和Taylor定理的逆定理成立，为更好地利用微分中值定理提供了理论根据．     

威尔逊定理及高斯定理的推广

本文利用中国剩余定理及有关知识将威尔逊定理和高斯定理推广到新定义的q-阶乘上。     

Lagrange中值定理的一个应用

Lagrange中值定理和介值定理是微分学中的重要定理，通过一个结论与多次应用Lagrange中值定理和介值定理证明该结论的方法具有实际应用价值。     

微分中值定理的n阶导数形式

利用罗尔定理和行列式知识建立了一个关于ｎ阶导数的拉格朗日定理。     

Levi定理和Fatou引理的一种推广

利用 L evi定理及一般可测函数的定义对 L evi定理作推广 ,同样对 Fatou引理进行改进而作为 Fatou引理的推广 ,并由此得到比 L ebesgue控制定理更一般的结论     

关于Lagrange中值定理证明的一个注记

利用具体的例子否定了“Lagrange 中值定理的证明由 Rolle 中值定理通过旋转适当的角度可得到”的说法.