可表示成3个真子群并的群

文献[1]给出了一个群不可能表示成两个真子群的并.文章证明了存在一个群可以表示成3个真子群的并,并证明了一个有限交换G群如果能够表示成3个真子群的并,那么G中存在子群N使得G/N≌Z2×Z2.     

Fuzzy真子群的并表示

本文重新引入了Fuzzy真子群(简称F真子群)的概念.讨论了群上的F真子群的并表示问题,证明了群上的F真子群能表示为另外两个不相同的F真子群的并.研究并且得到了F真子群表示为不等价的F真子群的并的充要条件,从而回答了Dixit等提出的一个开问题.     

所有无限真子群是阿贝尔群的局部幂零p-群

主要研究每一个无限真子群都是阿贝尔群的局部幂零p-群.给出了这类群的结构的详细刻画,得到了:定理1设群G是局部幂零p-群,若G不是阿贝尔群,但是G中的每一个无限真子群是阿贝尔群,则(1)当G不是幂零群时,G是秩为p-1的可除阿贝尔p-群被循环群的扩张;(2)当G是幂零群时,G是极小非阿贝尔p-群与拟循环p-群的乘积.     

关于有限群的非循环真子群的自正规性和非正规性

为了进一步讨论非循环真子群的自正规性和非正规性之间的联系，通过分析相关的群结构，给出了一个直接的证明得到了有限群G的每个非循环真子群皆自正规当且仅当G为每个非循环真子群皆非正规的可解群。     

恰有4个非循环子群共轭类的有限幂零群

设G是有限群,用δ(G)表示G的非循环子群共轭类的个数.δ(G)对G的结构有比较强的影响.例如,δ(G)=0当且仅当G循环.δ(G)=1当且仅当G非循环而G的所有真子群循环,即G内循环群.2007年,李世荣,赵旭波给出了有限δ-群(即每个可解子群日满足δ(H)≤2的有限群)的完全分类.作为以上问题的继续,使用群论的初等方法,给出δ(G)=4的幂零群的完全分类.     

偶阶非PN-群

如果有限群G的每个极小子群都是G的正规子群,则称G为PN-群 作者在讨论G非PN-群、但G的极大偶阶真子群和二次极大偶阶子群都是PN-群的结构及其性质的基础上,给出了偶阶真子群都是PN-群的偶阶非PN-群的结构和类型;确定了中心不含对合且其二次极大偶阶子群为PN-群的群或者是A5或者可解     

有限群的最小子群覆盖

设p为素数,G是非循环有限群,群G的最小子群覆盖所包含的子群个数记为n(G),群G的最小循环子群覆盖所包含的子群个数记为nc(G),群G的最小Abel子群覆盖所包含的子群个数记为na(G),则3≤n(G)≤|G|-1,nc(Cp×…×Cp)m个=pm-1 … p 1(m≥2),nc(Cpr×Cp)=r(p-1) 2(r≥1),na(Cpr×Cps)=p 1(r≥s≥1).     

最高阶元素个数为76p的有限群

设G为有限群,l是一个正整数,∣Ml(G)∣是G的l阶元素的集合,k表示G中元素的最高阶.特别地∣M(G)∣=∣Mk(G)∣.讨论了群的最高阶元素个数为∣M(G)∣=76p的有限群,得到了如下定理:设G是最高阶元素个数为76p的有限群,其中素数p＞5,则G可解.     

偶阶非PN—群

如果有限群G的每个极小子群都是G的正规子群，则称G为PN—群，作者在讨论G非PN—群、但G的极大偶阶真子群和二次极大偶阶子群都是PN—群的结构及其性质的基础上，给出了偶阶真子群都是PN—群的偶阶非PN—群的结构和类型；确定了中心不含对合且其二次极大偶阶子群为PN—群的群或者是As或者可解。     

群色临界图的一些性质

群色数χ1(G)是最小数m,使得对任意Abel群A,若|A|≥m,则G是A-可着色的.称G是群色临界的,若对于G的任一真子图H,有χ1(H)<χ1(G).研究了群色临界图的一些性质,给出某些群色临界图的刻划,证明了k群色临界图G的最小度为k-1,且若G是3群色临界图当且仅当G是圈.     

有限群的Fitting子群对群结构的影响

通过讨论有限群的Fitting子群的极小子群的π-拟正规性,利用有限群的正规群列及多种有限群论的方法和技巧,得到了一个有限的可解群成为超可解的充分条件.即设G是一个有限可解群,H为G的正规子群.若Fitting(H)的每一极小子群和H阶循环子群在G中π-拟正规,则G是超可解群.群G的子群H称为π-拟正规的,如果它与G的每一Sylow子群可交换.此结果是Buckley定理及多个相关结论的推广.     

关于一些交错单群的新刻画

设πe(G)表示群G中元素阶的集合,k1(G),k2(G)分别表示G中最高阶元素的阶和次高阶元素的阶。V.D.Mazurov等人2009年证明了用元素阶集合πe(G)和群的阶G刻画有限单群。本文试图用更少的数量刻画交错单群,并证明了:1)设G为有限群,M为交错单群An(n=5,6,7,9,10,11,13),则G≌M当且仅当|G|=|M|,且k1(G)=k1(M);2)设G为有限群,M为交错单群An(n=8,12),则G≌M当且仅当|G|=|M|,且ki(G)=ki(M),i=1,2。     

有限群的极小子群数与素因子数

极小子群是一类特殊的子群,在有限群结构的研究中起重要作用。有限群的极小子群的数量性质能够反映该群的许多性质。文章从极小子群的角度讨论群,并通过对不同性质的有限群进行讨论,给出了其极小子群数与素因子数的关系。     

关于有限群同构类的猜想

文[1]论证n阶群同构类的个数在1000以内的存在性.本文推广到2000,即设f(n)为n阶群同构类的个数,证明等式f(n)=k,(1k2000)中n的存在性.进而得到一个猜想:当有限群同构类的个数为有限数时,都是可以证明等式f(n)=k中的n的存在性.     

具有S-拟正规子群的有限群

设G是有限群,H为G的子群.如果H与G的每一个Sylow子群可置换,即对任意的P∈Syl(G),有HP=PH,则称H在G中S-拟正规.称G的素数阶子群为G的极小子群.如果G的每个极小子群在G中S-拟正规,则称G是MS-群.首先给出每个极大子群皆为MS-群的有限群必可解的新证明;然后确定了每个二极大子群皆为MS-群的有限非交换单群.     

有限群中非交换子群的共轭类数

设G为有限群,τ(G)表示G中非交换子群的共轭类个数,π(G)为G的所有素因子的集合.主要研究满足条件■的可解群性质,得到这类群的素因子个数不超过3.     

关于内—(q)群

设G是有限群,G称为内—(q)群,若G本身不是(q)群,但G的所有真子群是(q)群。 D.J.S RobinsOn确定了所有内—(t)群。当G不为素幂阶群时,本文确定了所有内—(q)群,结果如下: 定理当G不为P群时(p为素数)G为内—(q)     

能表示成三个真子群的并集的群

证明了一个群能表示成三个真子群的并集的必要充分条件是它以Klein四元群为同态象,讨论了可表示为四个真子群的并集的群.     

关于一些对称群的新刻画

设G为有限群,k1(G)表示群G中最高阶元素的阶.证明了:对称群Sn可以由其阶|Sn|与最高阶元素的阶k1(Sn)唯一刻画,其中n=5,6,7.     

同阶子群个数的集合为{1,m}的幂零群

把同阶的子群看作一类,并用n(G)表示G的同阶子群个数的集合.通过数量分析对n(G)={1,m}的幂零群进行了分类,完善了相关工作,得到了相关结果:如果G为有限幂零群且n(G)={1,m},那么G=H×P,这里H为G的循环正规Hall子群,P为G的Sylow p-子群.另外,下面结论之一成立:1)m=1+p,P同构于Cpn-1×Cp,Q8,M(n-1,1)(除D8)中的某一个,这里M(n-1,1)=a,b apn-1=bp=1,ab=a1+pn-2;2)m=1+p+p~2,P同构于C_p×C_p×C_p,M(2,1)*Cp2中的某一个,这里"*"表示中心积,M(2,1)=a,b ap2=bp=1,a~b=a~(1+p).