关于Weakly Almost Clean环

定义了weakly almost clean环。交换环R叫做weakly almost clean环，如果对于任意一个元素 x ∈ R可以写成 x ＝ r＋ e或x ＝ r－e的形式，其中r∈ reg（R）且e∈ Id（R）。首先，对于环Ri的非空集合｛Ri｝，证明了直和R＝∏ i∈ IRi为weakly almost clean当且仅当存在 m ∈ I使Rm为weakly almost clean且对所有的n≠ m ，Rn为almost clean 。然后，设R是一个环且 M为一个R‐模，得到了R和M的平凡扩张R（M）为weakly almost clean当且仅当每个 x∈ R可以写成x＝ r＋e或x＝ r－e的形式，其中 r∈ R－（Z（R）∪ Z（M））且e∈ Id（R）。进而推广了almost clean环的相应结果。     

关于clean环与exchange环的一点注记

目的研究clean环和exchange环的关系。方法环R被称为clean环,若环R中每一个元素都能写成一个幂等元和一个单位的和。通过减弱了"R是左拟-duo环"的条件,来研究clean环和exchange环的关系。结果证明了,如果"R的任意极大左理想是GW-理想"、"R的任意极大左理想是拟理想"、"R的任意极大左理想是弱右理想"以及"R的任意补左理想是理想",那么R是exchange环当且仅当R是clean环。结论在减弱"R是左拟-duo环"得到的一些条件下,R是exchange环当且仅当R是clean环成立。     

一类局部环上的强clean 3×3矩阵（英文）

称一个环是强clean的,是指R中的每个元素都是R中可交换的一个幂等元与一个可逆元的和.局部环是强clean的.对于环R,定义证明了,如果R/J（R）是一个素域的代数扩张,那么L（R）是强clean的当且仅当L（R）是强clean的当且仅当R是bleached的.从而将会获得相关的结果.     

拟J-clean环

通过拟幂等元引进拟J-clean环的概念,给出拟J-clean环的若干例子,讨论了它们的基本性质。证明了：(1)若R是拟J-clean环,则全矩阵环M_n(R)是拟J-clean环;(2)一个环R是UJ-环,当且仅当R中的拟clean元都是拟J-clean元;(3)设R是一个交换环,则R是拟J-clean环的充分必要条件是若I是R的包含于J(R)的理想且使得R/I是不可分解环,则R/I=J(R/I)∪U(R/I)。     

强J-clean环的推广

作为强J-clean环的推广,本文引入强J~#-clean环的概念,将强J-clean环的性质推广到强J~#-clean环上.设R为环,主要得到了:(1)a,b∈R.若ab是强J~#-clean元,则ba也是强J~#-clean元;(2)a∈R是强J~#-clean元当且仅当a是强clean元且a-a2∈J~#(R);(3)f2=f∈R,a∈fRf是R中的强J~#-clean元当且仅当a是环fRf中的强J~#-clean元.     

关于Qnil-半交换环

推广了半交换环,定义了一类新的环,称为Qnil-半交换环。证明了若R/I是Qnil-半交换环,则R也是Qnil-半交换环,这里I 是R的理想,且I?J (R)。根据这个结果,证明了Hurwitz级数环H (R)是Qnil-半交换环当且仅当R是Qnil-半交换环;环R上的斜幂级数环R[[x;α]]是Qnil-半交换环当且仅当R是Qnil-半交换环;群环RG是Qnil-半交换环当且仅当R是Qnil-半交换环,这里G是p-群, Char R=ps(s>1), p是素数。     

一类局部环上的强clean 3×3矩阵

称一个环是强clean的,是指R中的每个元素都是R中可交换的一个幂等元与一个可逆元的和.局部环是强clean的.对于环R,定义L(R)={(a11 0 0 a21 a22 a23 0 0 a33)|a11,a21,a22,a23,a33 ∈R},且(L)(R)={(a11 0 a13 0 a22 0 0 0 a33)|a11,a13,a22,a33 ∈R}.证明了,如果R/J(R)是一个素域的代数扩张,那么L(R)是强clean的当且仅当L(R)是强clean的当且仅当R是bleached的.从而将会获得相关的结果.

Abstract：

A ring R is called strongly clean if every element of R is the sum of an idempotent and a unit that commute. Local rings are strongly clean. For a local ring R,let (L)(R)={(a11 0 0 a21 a22 a23 0 0 a33)|a11,a21,a22,a23,a33 ∈R},and (L)(R)={(a11 0 a13 0 a22 0 0 0 a33)|a11,a13,a22,a33 ∈R} We prove that, if R/J(R) is an algebraic extension of its prime field, then (R) is strongly clean if and only if (R) is strongly clean if and only if R is bleached. Related results are also obtained.     

关于惟一强π-rad clean元

环R中的元素a称为是惟一强π-rad clean的,如果存在惟一的幂等元e∈R使得a-e∈u(R),ea=ae且ean∈J(R),其中n是某个正整数。如果环中的每一个元素都是惟一强π-rad clean元,那么环称为是惟一强π-rad clean环。文中给出了惟一强π-rad clean元和阿贝尔的惟一强π-rad clean环的一些等价刻画。     

Nil-semicommutative的exchange环

设R是nil-semicommutative的exchange环,证明了如下结论:1)对于R的每个左本原理想P,R/P是除环;2)R是左quasi-duo环;3)若每个非零左R-模有一个极大子模,则R/J(R)是强正则环;4)R/J(R)是强正则环当且仅当R/J(R)是同态半本原环;5)若R的每个素理想是左本原理想,则R为强π-正则环且R/J(R)是强正则环.     

关于Qnil-半交换环（英文）

推广了半交换环,定义了一类新的环,称为Qnil-半交换环,证明了苦R/I是Qnil-半交换环,则R也是Qnil-半交换环,这里I是R的理想,且I■J(R)。根据这个结果,证明了Hurwitz级数环H(R)是Qnil-半交换环当且仅当R是Qnil-半交换环;环R上的斜幂级数环R[χ;α]是Qnil-半交换环当且仅当R是Qnil-半交换环;群环RG是Qnil-半交换环当且仅当R是Qnil-半交换环,这里G是p-群,Char R=p~s(s≥1),p是素数。