常微分方程定性理论在动态裂纹尖端场分析中的应用

针对平面应变条件下理想弹塑性不可压缩材料动态裂纹尖端场的一个非线性常微分控制方程，就解的存在性和唯一性，积分曲线的一般性态和奇点性态作了全面深入的分析。在奇点邻域内采用线性化的方法，将该非线性常微分方程化为二维线性自治系统并用定性理论进行了细致的研究。结果表明，在求解域的合法区域内，该微分方程的解是存在且唯一的，积分曲线含有一孤立奇点──不稳定结点，但不存在积分曲线的包络线，积分曲线在奇点附近定性的几何结构和数值结果相吻合。     

欧氏空间动力体系的大范围分类

§1.前言 在n维欧氏空间上某区域给定一个连续向量场,在一般来说,这向量场也就确了定了一组微分方程系,因之也就确定了这区域的积分曲线分布,研究积分曲线的分布,显然是属于微分方程式论里一个重要部份,可是过去许多微分方程工作者,都只注意奇异点附近的积分曲线分布的研究或者ω极限点及α极限点附近积分曲线的研究,例如H.Poincare,I.Bendixson,O.Perron,R.Lohn,     

微分方程奇点指数的几何计算法

引言微分方程的奇点指数从一个侧面反映了微分方程的性质，有时完全决定了奇点附近轨线性态甚至整个方程积分曲线的拓扑结构，所以是微分方程的一个重要指标，计算指数具有重要意义；本文提供一种简单的计算奇点指数的方法．设（Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ））是平面上给定的可微向量场，以θ记（ｘ，ｙ）处向量的的幅角，Ｄ为某一区域．设ｏ点是向量场（Ｐ，Ｑ）的孤立奇点，Ｌ为含点ｏ的闭曲线，其内无其它奇点，Ｄ为Ｌ所围的区域，Ｄ被曲线Ｐ＝０，Ｑ＝０分成若干以点ｏ为顶点的曲边小扇形Ｄ_ｉ，对应的闭曲线Ｌ被分成了若干弧Ｌ_ｉ；在每…     

在N_2区域内O一曲线的唯一性

当研究微分方程在奇点附近积分曲线的几何拓扑结构时,经常引入例外方向,从而发生Frommer法域内积分曲线分布的不定问题,在本文里,考虑Frommer的第二型法域,所讨论的内容是从Hartman—wintner定理条件出发的。     

应用Stokes公式计算有多个奇点的函数的积分

在数学物理中,带有奇点的函数积分是我们经常碰到的,它们计算往往比较复杂,但应用又比较广泛.本文讨论有多个奇点的函数积分的一些理论及应用,给出这些奇点分别在积分曲线(区域)的内部,边界及外部的计算方法.     

齐次微分方程的积分因子和通解

证明了一阶齐次微分方程积分因子的存在性,并由此将全平面分成2个部分,在积分因子的存在域上给出其积分因子,从而在此域上得到通积分,在积分因子的不存在域上给出了其特解．同时指出了除奇点（0,0）外,这些特解必是径向直线解,从而将该类方程的积分曲线集合扩充到了整个平面．     

积分区域边界上含奇点的Green公式应用

研究了积分区域的边界上含有奇点的Green公式的应用,降低了通常意义下Green公式的条件,获得了更广泛的应用;结论的应用可以更快捷、更方便地处理积分区域的边界上含有奇点的第2类曲线积分的计算问题.     

等时曲线是摆线的证明

为了考虑等时曲线的求解问题,建立质点沿光滑曲线从一定高度下滑所需时间的公式,将该问题转化为一个积分方程的求解问题。对无限区间上的积分方程,利用拉普拉斯变换方法给出了求解方法,得到了积分方程解的解析表达式,然后将其变化为一个常微分方程的求解问题。对有限区间上的积分方程,利用含参变量积分的求导和积分交换次序方法,得到积分方程解的解析表达式。然后将等时曲线问题,转化为一个常微分方程的求解问题,通过求解得到等时曲线解的解析表达式,即摆线的方程形式,从而给出了具有等时性的曲线一定是摆线的证明过程,对等时曲线的问题给予了完整的解决。     

某类Bendixson系统的正交系统与一个二阶非线性系统的振动问题

为探讨非线性空气动力作用下矩形平板的大范围稳定性问题,本文研究了平板的自激振动方程,应用方法将问题归结为一个二阶非线性振动系统的稳定性问题,本文简略地对此系统作了定性的分析,讨论了此系统在有限距离与无穷远奇点的性质,以及积分曲线的大范围分布;归纳了此系统有无闭轨道、奇异闭轨道以及极限环的条件,从而绐出参数变化对拓扑结构的影响,当参数已知,由文中的分析判定可以决定积分曲线的全局分布。     

曲线积分与路径无关性的应用

该文介绍了第二型曲线积分与路径无关的四个等价条件,并结合实例说明了此定理的应用：计算曲线积分、求原函数、求微分方程的解、求微分方程中的未知函数,特别是在求未知函数的例子中,解决了与之相关的一系列利用曲线积分与路径无关性求微分方程中的未知函数的问题。     

幂零奇点的局部可积性及其分类

平面多项式微分系统的可积问题与退化奇点的完全分类问题是常微分方程定性理论中的 2 个重要问题. 目前, 几乎所有可积问题的工作都集中于讨论中心焦点和 $p:-q$ 共振中心上, 而退化奇点的完全分类问题的结果很少. 考虑带幂零奇点的平面实多项式微分系统, 给出了相应的局部可积的理论与方法, 并在可积的条件下讨论了幂零奇点的完全分类问题. 进一步地, 对相应的 2 次系统与 1 类 3 次系统给出了可积的充要条件以及可积条件下幂零奇点的完整分类.     

一类Caputo分数阶微分方程初值问题解的存在性

将一类Caputo分数阶微分方程初值问题转化为等价的Volterra积分方程,通过构造一个特殊的Banach空间,在此Banach空间上定义算子,将求解Volterra积分方程转化为求算子的不动点问题,应用Schauder不动点定理证明了其解的存在性.     

广义修正的DGH方程的奇点分类与求解问题研究

利用辅助方程与函数变换相结合的方法,通过几个步骤研究了广义修正的Dullin-Gottwald-Holm方程的稳定性与求解问题.步骤一,通过两种函数变换,把广义修正的Dullin-Gottwald-Holm方程化为常微分方程组.步骤二,利用常微分方程组的首次积分,分析了广义修正的Dullin-Gottwald-Holm方程的稳定性与奇点分类问题.步骤三,用首次积分将广义修正的Dullin-Gottwald-Holm方程的求解问题化为常微分方程的求解问题.步骤四,利用常微分方程的Bcklund变换等相关结论,构造了广义修正的Dullin-Gottwald-Holm方程的无穷序列类孤子新解.     

基于三角和代数多项式的四次T-曲线上的拐点和奇点

用代数的方法讨论从空间T5=span{1,cos,t sin,t cos 2t,sin 2t}提取出的T-基构成的平面四次T-曲线上拐点与奇点的存在性问题,并得到了四次T-曲线上关于拐点个数以及奇点存在性的充要条件.这些结果都用有关的仿射不变量表示,可以用来控制四次T-曲线的形状.     

超奇异积分算子

近几年来若干应用领域,如空气动力学(?)电子光学、断裂力学等都出现奇点阶数高于空问维数的所谓“超”奇异的积分.例如1982年 Ioakimidis 将空间各向同性弹性体内有任意形状平面裂纹 D 的问题归结为超奇异积分方程     

非線性微分方程的高階奇点

对於微分方程在高阶奇点附近的积分綫的拓扑結构已为所研究本文研究微分方程在高阶奇点O附近积分线的拓扑結构,設X(x,y)=0,与Y(x,y)=0为不可约的,原点为方程(2)的孤立奇点,根据董金柱的結果方程(2)的奇点指数仅有0或±1或±2。我們首先确定Y(x,y)=0,X(x,y)=0在何种情况之下会出現指数为0或±1,或±2的奇点,其次研究参量a_(ii),b_(ii)在不同情况下,原点附近积分线的拓扑结构,为方便起見,当Y(x,y)=0(或X(x,y)=0)是不退化的或者退化为两不相重的平行线时則称Y=0(或X=0)为正常的,否則Y=0(X=0)称为非正常的(有退化     

四次Bézier曲线的拐点和奇点

参数样条曲线中,三次曲线的应用最广,而且已经有了许多理论上的研究.文[1]对三次参数样条曲线段的拐点与奇点进行了讨论.[2]进一步给出了三次Bezier曲线保凸的充要条件.[3]在[2]的基础上作了一些补充.四次及五次参数样条曲线已经在应用的领域中出现,如[4]和[5]都讨论了四次或五次参数曲线及其应用.这些曲线的拐点和奇点问题要比三次参数曲线复杂得多,几乎还没有详细的讨论,但这是有效地控制高次参数曲     

微分方程所定义的二次曲线

<正> 本文讨论微分方程的积分曲线与二次曲线(?)(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (C_2)之间的关系,并给出积分曲线类型的判别准则.§1.首先考虑曲线(C_2)应满足的微分方程.由隐函数的微分法则,得     

关于奇点分类的问题

这里的问题,在1963年6至12月,作者曾先后在北京市数学会常微分方程讨论班和教育部直属高等学校校际微分方程会议上报告过。最初的目的是为了介绍[10]。不想因此涉及了奇点理论的若干基本问题。现在把我们对这些问题的浅陋意见发表出来,或许能起到抛砖引玉的作用,希望识者不吝批评帮助和指正。常微分方程的定性理论,是从奇点的研究开始的。奇点的研究,有几个基本问题:一是分类问题,二是鑑别问题,三是指数问题。不同的分类方法,将提出不同的鑑别问题,产生不同的指数规律。因此奇点分类的     

留数理论及其应用

留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物,需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念．掌握留数的计算法,特别是极点处留数的求,实际中会用留数求一些实积分．留数是复变函数论中重要的概念之一,它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系．现在研究的留数理论就是是柯西积分理论的继续．中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具．留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系．此外应用留数理论,我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题,还可以考察区域内函数的零点分布状况．