几种收敛机制的比较

极限是数学研究其它问题的重要工具之一,其收敛机制在不同的课目中互不相同.本文旨在对数学分析、实变函数和概率论中所涉及到的几种收敛机制作一个纵向的剖析与横向的比较.     

随机变量序列四种收敛的若干性质及其四则运算

以数列收敛的一些性质为依托,证明了随机变量序列的依概率收敛、几乎处处收敛、r-阶收敛及依分布收敛这四种收敛的极限存在的充分必要条件、存在准则,并得出:依概率收敛和几乎处处收敛与数列收敛性质一样,可以进行四则运算,而r-阶收敛只能进行加减运算,依分布收敛则不能进行四则运算。     

拟一致收敛函数列的几个性质

给出拟一致收敛函数的定义，再讨论它与「１」中的几乎处处收敛和依测度收敛的关系。     

关于LP空间中的几种收敛性

收敛概念是从数列的收敛性到函数列的收敛性、级数收敛、积分序列的收敛性,即分析学研究的出发点就是收敛性.在现代分析中主要包括:几乎处处收敛,依测度收敛,强收敛,弱收敛等概念,文章对它们的定义和性质进行归纳,并讨论他们之间的关系和区别.     

再谈关于Lp〖KG-*3〗空间的几种收敛关系

讨论了Lp空间弱收敛、强收敛、几乎处处收敛、依测度收敛的相互转换关系，给出了证明，并通过举例的方式说明了一些定理的特殊情况.     

随机变量序列几乎处处收敛的几个等价命题

由随机变量序列几乎处处收敛可推出其依概率收敛，进而可推出其依分布收敛，可见判别几乎处处收敛的重要性．给出了它的几个等价命题，同时还证明了独立随机变量和序列几乎处处收敛等价于依概率收敛，亦等价于依分布收敛．     

关于随机变量序列收敛性关系的探讨

在完备的概率空间 (Ω,, P)下,讨论了实值随机变量序列 {ξ n}的完全收敛、几乎处处收敛、 r次平均收敛、依概率收敛、依分布收敛之间的相互关系,得到若干有意义的常用结论。     

完全收敛性与可测函数序列几种收敛性的关系

本文讨论了完全收敛性与可测函数序列依测度收敛、几乎处处收敛以及强收敛之间的等价关系,并且给出了依测度收敛、几乎处处收敛与完全收敛之间等价的充分必要条件,即fn（x）单调增加,并且（An）两两不相交,其中An=[｜fn-f｜≥ε],任意ε〉0。     

完全收敛性与可测函数序列几种收敛性的关系

本文讨论了完全收敛性与可测函数序列依测度收敛、几乎处处收敛以及强收敛之间的等价关系,并且给出了依测度收敛、几乎处处收敛与完全收敛之间等价的充分必要条件,即fn(x)单调增加,并且(An)两两不相交,其中An=[|fn-f|≥ε],ε>0。     

关于随机变量序列收敛性关系的探讨

在完备的概率空间（Ω,F,P)下,讨论了实值随机变量序列{ζn}的完全收敛,几乎处处收敛、r次平均收敛、依概率收敛、依分布收敛之间的相互关系,得到若干有意义的常用结论。     

关于各种收敛性关系的若干反例及两个新的定理

主要研究了Lp（p≥1）空间中的强收敛（依范数收敛）、弱收敛与几乎处处收敛、依测度收敛、一致收敛之间的关系,并举出了若干反例;进一步对函数序列或测度空间作某些假设,得到了一些肯定的蕴涵关系与重要的结论.     

关于各种收敛性关系的若干反例及两个新的定理

主要研究了Lp(p≥1)空间中的强收敛(依范数收敛)、弱收敛与几乎处处收敛、依测度收敛、一致收敛之间的关系,并举出了若干反例;进一步对函数序列或测度空间作某些假设,得到了一些肯定的蕴涵关系与重要的结论.     

复值随机变量序列几种收敛性的关系

研究了复值随机变量序列的完全收敛,几乎处处收敛,r阶平均收敛,依概率收敛之间的相互关系,得到了几个有意义的结论.     

关于可测函数列收敛性的注记

讨论可测函数列依测度收敛与近一致收敛之间的关系，并给出Riesz定理的推广：若fn→f于E，则存在子列{fni}包含{fn},使fni近一致→f于E。     

完全收敛与完全测度收敛

文章主要讨论完全收敛、完全测度收敛与可测函数列的依测度收敛、几乎处处收敛、近乎一致收敛等之间的关系,同时还讨论了它们的一些性质。     

随机过程的广义收敛性

给出了一个随机过程{Xt}依概率收敛的充要条件,同时也证明了与{Xt}同极限的几乎处处收敛的随机过程{Yt}也有相同的结论.因此在很多情况下,人们将{Yt}化为{Xt}来研究{Yt}的收敛性;而在其他情况下(除了假设{Xt}与{Yt}是a.s.等价外),人们就要研究{Yt}的一个序列的收敛性.此种处理方法为处理大量旧的与新的分支过程提供了一个一致逼近的途径.     

空间L~p(Ω)中强收敛和弱收敛的一些判别方法

考虑勒贝格控制收敛定理的应用和强收敛的充分必要条件问题,运用由勒贝格控制收敛定理导出的近代新结果,对一些古典结果的证明方法给予了新的简化处理,给出了强收敛的充分必要条件判别定理.     

拟一致收敛函数列的几个性质

给出拟一致收敛函数的定义，再讨论它与［１］中的几乎处处收敛和依测度收敛的关系。     

模糊化的Riesz定理和Lebesgue定理

在一般模糊测度空间上,针对可测模糊值函数序列给出了依模糊测度收敛和几乎处处收敛的概念,并在此基础上,进一步研究了模糊值函数序列的这两种收敛的蕴涵关系,从而获得了所谓模糊化的Riesz定理和Lebesgue定理.     

关于叶果洛夫定理和Lebesgue定理的扩展

叶果洛夫定理和Lebesgue定理中共有的条件“fm（m=1,2,…）是E上几乎处处有限的可测函数”可以减弱为“f（m=1,2,…）是E上的可测函数”;“f有限a.e于E”可减弱为“f有限a.e于E或f无限a.e于E”。给出在这种条件减弱的情况下三种收敛的关系。