半正定Hermite矩阵乘积迹的不等式的推广及应用

本文证明了对半正定Hermite矩阵A_1,A_2,…。A_m成立(3),(4),这里sum from i=1 to m 1/a_1≥1。实现了将离散形式的Hólder不等式和Minkowski不等式推广到矩阵上。     

两个复矩阵乘积的特征值估计

设 A,B是两个 n阶复矩阵 ,且 r(AB- BA)≤ 1 .利用 A,B的特征值给出了乘积矩阵 AB的特征值的取值范围 ,推广了关于可换 Hermite矩阵乘积的特征值估计的一些结果     

Hermite矩阵方程的解

本文主要讨论矩阵方程XAX^＊=A的一般解（其中A为（斜）Hermite矩阵;X^＊为X的共轭转置）,以及考虑矩阵方程XAX=A的Hermite矩阵解（其中X为Hermite矩阵解）.     

两个矩阵同时化为Hermite标准型的一个充分必要条件

利用单纯的矩阵方法得到.两个同型矩阵A,B能够同时化为Hermite标准型的一个充分必要条件是rank(A B)=rankA rankB.在此基础上,若同型矩阵序列A1,A2…,A1满足rank(A1 … A1)=rankA1 … rankA1,则对任意两个矩阵Ai,Aj(i≠j)均可以同时化为Hermite标准型.     

任意矩阵特征值的秩1修正扰动界

设A是一个n阶的任意复矩阵且E是A的Hermite秩1扰动,即E=xx',其中x是n维的复列向量,x'是x的共轭转置向量.则A+E为矩阵A的Hermite秩1修正矩阵.基于矩阵分析理论中Hermite矩阵特征值分布的性质,研究得到了矩阵A特征值的任意Hermite秩1修正扰动的上下界限,即给出了矩阵A+E特征值的上下界限:λ_i(H(A))+l_i(x)+δ_i≤R(λ_i(A+xx'))≤λ_i(H(A))+u_i(x)+δ'_i(i=1,n),λ_i(H(A))+l_i(x)+δ_i≤R(λ_i(A+xx'))≤min{λ_i(H(A))+u_i(x),λ_(i-1)(H(A))}+δ'_i(2≤i≤n-1),且λ_(min)(-SH(A)τ)≤S(λ_i(A+xx'))≤λ_(max)(-SH(A)τ)(1≤i≤n),其中δ_i=sgn(‖SH(A)‖_2)[λ_(min)(H(A))-λ_(i-1)(H(A))-u_i(x)],δ'_i=sgn(‖SH(A)‖_2)[λ_(max)(H(A))-λ_i(H(A))-l_i(x)+‖x‖_2~2],gap_i=λ_(i-1)(A)-λ_i(A),i=2,…,n,H(A)和SH(A)分别代表矩阵A的Hermite部分和反Hermite部分,τ=(-1)~(1/2),sgn(·)代表符号函数.当A为Hermite矩阵时,上述结果退化为已有的结果λ_i(A)-‖x‖_2~2≤R(λ_i(A+xx'))≤λ_i(A)+‖x‖_2~2.     

Hermite矩阵最大(最小)特征值的估算

提出了一种用范数来估算Hermite矩阵最大(最小)特征值的方法:定理设λi(A)为Hermite矩阵A的特征值,α为实数,则-‖-A αE‖m α≤λi(A)≤‖A αE‖m-α     

一阶偏导算子的正交数值域为实值的充要条件

设A_J∈L(V),i=1,…,m,A_1=A_1…A_m为A_1,…A_m的张量积,称D(A_1,…,A_m)=A_1I…I+IA_2I…I+…+I…IA_m为■A_i的一阶偏导算子,它的正交数值域为(D(A_1,…,A_m))={sum from i=1 to m(A_jv_j,v_j)|(v_i,v_j)=δ_(ij),i,j=1,…,m}(要求m=≤n=dimV)。本文给出了(D(A_1,…,A_m))=0,(D(A_1,…,A+m))R及D(A_1,…A_m)为厄米特算子的充要条件。     

Cauchy-Schwarz不等式的推广及应用

利用格拉期曼代数[2]方法,将CauchySchwarz不等式推广为　　　　　　｜det(x iAyj)｜2≤det(x iAxj)det(y iAyj)　　　　　　(i,j=1,2…,m)其中xi,yi∈Cn(i=1,2,…,m),A为n阶半正定Hermite矩阵且m≤n,作为其应用,还可以导出一些新的矩阵不等式或已知的矩阵不等式     

广义正定Hermite矩阵与广义特征值的性质

证明广义正定Hermite矩阵对应矩阵逆的广义特征值为正,给出广义正定Hermite矩阵乘幂为广义正定Hermite矩阵的充分条件;指明Hermite矩阵A关于正定Hermite矩阵B是广义正定Hermite矩阵的充要条件及Hermite矩阵与正定Hermite矩阵同时对角化的方法;推导广义正定Hermite矩阵特征值的性质.     

广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的一些性质

主要研究两类重要的、具有特殊性质的矩阵--广义酉矩阵和广义Hermite矩阵.对广义酉矩阵和广义Hermite矩阵的性质进行了推广,得到几种新的判别广义酉矩阵和广义Hermite矩阵的判别条件:若A∈Cnn相似于一个酉矩阵U,则A是n阶P-广义酉矩阵;已知A可对角化,则A为n阶P-广义酉矩阵的充分必要条件是A相似于一个酉矩阵;若A为广义P-酉矩阵,则A是广义P*-酉矩阵;若A为实矩阵,则A为广义Hermite矩阵;若A为n阶广义P-Hermite矩阵,则A为n阶广义P*-Hermite矩阵.给出了广义酉矩阵的特征值:如果λ≠0是A的特征值,那么1/λ是A*的特征值;当A为实矩阵时,1/λ也是A的特征值.     

次-矩阵的若干广义逆性质

本文给出次-矩阵(次共轭转置、次Hermite、次规范及次值域Hermite矩阵)的若干广义逆性质。作为本文的重点我们讨论了下列四个问题:①怎样判定一个方阵B是否次值域Hermite矩阵;②次值域Hermite矩阵与值域Hermite矩阵的关系;③次值域Hermite阵的群逆是否一定存在的问题;④若次值域Hermite阵B的群逆存在,此群逆与相应的值域Hermite阵A的群逆的关系。     

一个Hilbert空间及其应用

<正> 本文介绍一个以n阶Hermite矩阵为元素的Hilbert空间(在Hilbert空间的定义中有时还要求空间是无限维的,本文不作这种要求),以及它的应用.引理1 若A为n阶Hermite矩阵,则矩阵A~2的迹为非负实数,即tr(A~2)≥0.证明 设A=(a_ij)则     

任意体上可中心化矩阵的行列式

具中心域F的体K上的一个n阶矩阵A称做可中心化的,如果特征矩阵λI-A可由一些初等变换化成下面的对角形式:使得,此处诸φ_i(λ)均为F上首项系数为1的多项式。对于具有(1)式的可中心化矩阵A,其行列式可定义如下: 本文中讨论了K上可中心化矩阵的行列式的一些基本性质。 一些重要的四元数矩阵是可中心化的,例如自共轭四元数矩阵,广义矩阵等等。 关于实对称矩阵与Hermite矩阵的一些定理也被推广了。     

矩阵方程X+A~*X~2A=P的Hermite正定解及扰动分析

考虑非线性矩阵方程X＋A·X^2A=P,其中A是一个n×n阶的复矩阵,P是一个n×n阶的Hermite正定矩阵,A＊表示矩阵A的共轭转置。推导出矩阵方程的Hermite解的存在及唯一性条件,同时给出唯一解的存在区间。最后对该唯一解进行扰动分析,给出不依赖于扰动解的扰动边界。     

Hermite环上矩阵的秩及性质

设R为Hermite环,A为R上的矩阵,随着对Hermite环的深入研究,近期一维的Hermite环猜想已经得到解决.文章主要总结并讨论A的稳定秩、内秩、行秩之间的关系,以及Hermite环上矩阵的性质.     

关于矩阵的迹的Cauchy-Schwarz不等式

(一) 1 980年,Bellman,R。[2〕证得* Ztr(AB)喊tr(AZ) tr(BZ),(1) tr(AB)喊:tr(AZ)}女、tr(B。)}气(2)其中A,B为n阶正定矩阵,tr(A)为矩阵A的迹。(i)式等号成立的充要条件是A=B;(2)式等号成立的充要条件是B为A的常数倍。文〔月证得: 定理1若A,B为。阶Hermite矩阵,则(i),(2)两个不等式成立。 本文给出了满足不等式(1),(2)的另外几类矩阵。(二)对于。阶三角矩阵,文〔月证得,定理2设A、==(a,J)、,k二i,2,一,m(m>2)为。阶上(下)三角矩阵,且主对角线元素为非负,则tr(A 1 Ar二A二)喊tr(A份) t:(人蓄) .二 tr(A:) 切(3)式中等号成立当…     

分裂四元数矩阵方程AXA~H+BYB~H=C的反Hermite 解

本文主要讨论分裂四元数矩阵方程AXA~H+BYB~H=C的反Hermite解,其中A∈Q_s~(m×n),B∈Q_s~(m×p),C∈Q_s~(m×m),X∈AHQ_s~(n×n),Y∈AHQ_s~(p×p).以分裂四元数矩阵的复表示、矩阵列拉直算子以及Moore-Penrose广义逆为工具,得到此矩阵方程有反Hermite解的充分必要条件及解的通解表达式.     

不等式约束下AXA*=B的Hermite最小二乘解

利用线性Hermite矩阵函数A-BX-(BX)*的最大最小秩与惯性指数,研究了Y-P的最大最小秩与惯性指数,其中Y为矩阵方程AXA*=B的Hermite最小二乘解,P是给定的Hermite矩阵.从而得到了Y>(<,≥,≤)P的充要条件.特别地,给出了Y的最大最小秩与惯性指数以及存在AXA*=B的正定(负定、半正定、半负定)Hermite最小二乘解的等价条件.     

半正定极因子在酉不变范数下的绝对与相对扰动界

设A=QH是矩阵ACm×n的极分解,其中Q*Q=I,I为n阶单位矩阵,H为n阶Hermite半正定矩阵.给出了任意扰动下Hermite半正定极因子在酉不变范数下的绝对与相对扰动界.对于满秩矩阵,绝对与相对扰动界具有最优性质.     

关于Hermite与次Hermite二次矩阵方程解的研究

以Hermite矩阵、斜Hermite矩阵与次Hermite矩阵、次斜Hermite矩阵的相近关系为基础,证明了从Hermite二次矩阵方程的矩阵解出发,可得到次Hermite二次矩阵方程的解的相应结果.应用这种方法,不仅给出了可概括这两类矩阵方程解的已有结论的充要条件,而且指出已有文献得到的是不以-l为特征值的矩阵解,因此,这些矩阵方程的"一般解"的研究还没有结束.