关于周期函数的两个定理

本文绘出两个定理，为判断一元函数的周期性提供了方便。定理1若函数y＝f（x）在R上的图象关于直线x＝a与x＝b（a＜b）对称，则函数f（x）是周期函数。定理2若函数y＝f(x)在R上的图象关于点A（a，y0）和直线x=b（a相似文献   

关于积分的权限定理的应用

1有关定理及其应用［周定理1（Lebesgue逐项积分定理）|fn(X)|是可测集E上的非负可测函数列，定理2（Lebesgue控制收敛定理）设（1）F(x)在E可积；（2）|fn(X)|是E上的可测函数列；（3）人（）＜F（X）（v；；）；（4）八（）＝＞fi）于E。则：fi）在E可积b土II＼工）11＝1fliT、L工）TTJE’。一”JEF卜）有时称为控制函数，F（X）与自然数n无关。将条4．改为人（x）、八x）a．e于E，定理结论仍成立。推论（Lebesgue有界收敛定理）设（l）mE＜＋co（2）g人（x）g是E上可测函数’列，且【入（X）＜K（V，／3）fn卜）一f（）于E…     

关于周期函数的几个问题

1周期函数的几种判定方法方法1由课本中定义判定，去寻找与无关的非零常数T。（a为非零常数），求证：f（x）是以2a为周期的周期函数。．f（x）是以2a为周期的周期函数。方法2若函y=f（x)(x∈R)的图家关于直线x=a与x=b(b＞a)对称，w间是周期函数，且2（b－…是它的一个周期。证明：设协E尺”．”函规句N的图象关于直线x。a对称，丫（Q＋Q）于人a—x人同理谢…＋…寸（b一力。于影＊＋2他一划寸【b刊b＋X一2喇4【b一（b＋X－2刚才（初一动十la＋（a—x刀寸【a－（a一动1＝f饲。故f00是以2（－a）为周期的周期函数。方法3若函如寸间…ER）…     

一个不等式的推广

文[1]利用一组不等式给出并且证明了如下不等式：设且，本文给出了（1）的一般形式，并由此导出了（1）式及一些有趣的不等式。定理1设当且仅当X；一X。—…一八时取等号。证明1设八x）一e”．显然人工）为凸函数．由Jensen不等式知，y6R，a。＞0（i—l，2，…，。），且7a。一1，有八】a。。。）＜】a。八。。）即eD。。。－〔】a，e。。’－l】－11－l，一个人一In（l－十二），（1。二一1，i一1．2…·．n），将人代入上面09不等式并整理便得（2）式。证明2构造人1）。。l，l（＋x）（x＞－1），则人x）为凹函数。仿照证一的方法可证…     

Rolle中值定理的推广

对Rolle中值定理的条件作了改进，把函数可导推广为左或右可导，把有限区间推广为无限区间，把函数在区间端点处的函数值相等推广为可以不等．主要建立了如下的推广定理：设函数f（x）在有限或无限区间（a，b）上连续，f（x）在（a，b）内右（或左）可导，并存在{an}，{bn}包括（a，b）使 liman n→∞=a limbn n→∞=b limf（an）n→∞=linf（bn）n→∞=A A为实数或±∞，则存在ξ,η∈（a,b），使得f′＋（ξ）≥0,f′＋（η）≤0（或f′-（ξ）≥0,f′-（η）≤0。更进一步，设f′＋（x）（或f′-（x））在（a,b）内左（或右）连续，则存在ξ∈（a,b）使得f′＋（ξ）=0（或f′-（ξ）=0）.     

二元函数的可积性澌论

本文应用有限复盖定理,对二元函数可积的充分性给出了两个新结论.定理1 设f(x,y)是定义在有界闭区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上的有界函数.若f(x,y)在D上对y关于x一致连续,对x只有第一类间断点,则f(x,y)在D上可积.定理2 设f(x,y)是定义在有界闭区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上的有界函数.f(x,y)在D上有无穷多个间断点,但对(?)(x_0,y_0)∈D,极限(?) f(x,y)都存在,则f(x,y)在D上可积.     

二元函数极值点判定的充分条件新证

利用多元函数的偏导数与方向导数的概念给出二元函数以f（x,y）的方向导数及其几何意义,然后进一步给出了二元函数沿任意方向L的二阶方向导数Э2f/Эl2再利用其表示的几何意义给出证明二元函数以f（x,y）的极值,最判定定理的一种新方法．     

复变函数中的三个问题

复变函数的理论与方法在数学、物理和其它科学领域以及工程技术中有着极为广泛的应用。下面重点讨论三个问题。1解析函我解析函数是复变函数研究的对象。解析函数有多种等价的定义方法，叙述如下：若／（）在G内解析，（1）入Z）在G内的每一点都有有限导数。（2）f（z）＝u（，y）＋tv（，x）；u（，y）v（x，y）在G内的每一点都可全微分且在G内到处都有共一共，XOxOyOx一一共。（3）f卜）在G内连续且对G内的Oy任一条逐段光滑闭路P有Ifz）dz＝0。r（4）人Z）在G内每一点的某邻域内都可展成幂级数。根据解析函数的定义，得出基本初等…     

一组重要不等式的微分证明

一组重要的平均值不等式：构造辅助函数f（x）=2x2－2（a＋b）x＋2（a2＋b2－ab）可证明不等式，受此启发，本文采用构造辅助函数，以微分为工具，来证明这组重要不等式。这里用高等数学方法证明初等数学问题，可能对师范院校学生和中学数学教师均有所启示。先证明不等式为函数的极小值点。下面用数学归纳法证明函数f（x）≥0（X＞0）n。l时，f（）一x’一Zalx＋ZaZ－aZ一（x－al）’＞0假设n一及时，f（）＞0，即有：将x—a。。；代入上式得由（2）式知当n—k＋1时，函数的最小值为非负数，故n—k＋l时，f（）＞0所以．对一切自然数n均有…     

Lagrange中值定理的辅助函数的一般作法

Lagrange中值定理证明中辅助函数作法各式各样，目前采用的主要有如下形式:应用1）-8）中任何一种，用Rolle定理立即可以证明Lagrange中值定理。表面上看作辅助函数要有几分技巧，其实只要用逆向思维来探索，不难发现这些助辅函数形式并非某人一时“聪明”而作出，却都是出自于一个统一的形式。事实上，从Lagrange中值公式的形式类似于前面的处理，即得F（x）＝（b-a）f（x）-[f（b）-f（a）]x＋c2（2）分别取c2为0;[f（b）-f（a）]a；af（b）－bf（a）；bf（a）-af（b），得到辅助函数5）-8）。比较（1）与（2），容易看出（2）是（1）的…     

关于菲赫金哥尔茨定理的改进

实变函数论中的菲赫金哥尔茨(?)定理是这样的: 若F〔f(x)〕对于所有绝对连续函数f(x)常为绝对连续函数,则F(x)满足李卜希兹条件。本文利用磨光函数的方法,使上述定理中f(x)的范围缩小为满足|f′(x)|≤1的函数,从而将菲赫金哥尔茨定理的条件大大减弱。随之可得出两个推论。现叙述如下: 定理若F〔f(x)〕对于所有满足|f′(x)|≤1的函数f(x)常为绝对连续函数,则F(y)(y∈〔a,b〕)满足李卜希兹条件。     

一类函数方程的有界解(Ⅱ)

研究了函数方程f（x—y）＋f（x＋y）=2f（x）f（y）有界连续解，其中f（x）为R^n→R的有界连续函数；证明了f（x）必为如下形式的三角函数f（x1，x2，…，xn）=COS（k1x1＋k2x2＋…＋knxn），其中k1，k2，L，kn常数。该结论证明了满足上述方程的函数一定为三角余弦函数，也即给出了三角余弦函数的一种方程形式的刻画。     

减弱定理条件拓宽应用范围

<正> 在微积分中,为解决含参量积分的求导与积分顺序可交换的问题,教科书上多采用下述定理1与定理2。 定理1 若函数f(x,y)与f_y(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则函数φ(y)=integral from n=a to b(f(x,y)dx)在[c,d]上可导,且 φ′(y)=integral from n=a to b(f_y(x,y)dx) (1)     

关于二元函数极限求法的探讨

在二元函数 Z=f(x,y)的极限问题中,自变量的变化情况较一元函效复杂得多。因为 f(x,y)的定义域是 XOY 平面上的一个区域,动点(x,y)趋于定点(x_0,y_0)的路径可以是多种多样的。只有当动点(x,y)沿着任意路径趋于定点(x_0,y_0),函数 f(x,y)总是趋于某数 A 时,才能称A 为 f(x,y)当 x→X_0,y→y_0时的极限。因此二元函数的极限比一元函数的极限复杂且难求。本文总结了计算二元函数极限的方法,并通过例题作出一些说明。     

应用初等方法讨论函数的单调性

定义对于函数f(x),若在其定义域的某个区间M上任意取两个数x_1,x_2,它们对应的函数值分別为f(x_1),f(x_2), (1)如果当x_1f(x_2),则称函数f(x)在区间M上是严格递減的; (4)如果当x_1相似文献   

曲面的几个重要性质之间的内蕴关系

探讨了曲面的对称性、凸凹性、极值之间的内蕴关系，得到如下结果：①曲面z=f(x,y）关于z轴对称且严格凸（凹）时，一定在（0，0）点取得极大（小）值；②连续可微曲面z=f(x,y）关于z轴对称且在（0，0）点取得极大（小）值，则曲面是凸（凹）的；③曲面z=f(x,y)在（0，0）点取得极大（小）值是凸（凹）的，但z=f(x,y)不一定关于z轴是对称的。     

多元函数可微性充分条件的一点探讨

多元函数可微性的充分条件在许多教材中是这样论述的(以三元函数为例):定理1:如果函数 U=f(x,y,z)的偏导数 f_x~＇(x,y,z)、f_y~＇(x,y,z)及 f_z~＇(x,y,z)在点(x,y,z)处连续,则函数 f(x,y,z)在该点处可微分.这条定理用起来很方便.但是,有连续的偏导数是一个相当严格的条件,用此定理来判定多元函数的可微性,可能把一部分可微函数排除在外.如果仔细分析定理的证明过程,可     

浅谈不动点理论的应用

函数的＂不动点＂理论虽然不是高中教材的必修内容,但以不动点为背景的考题频频出现在近些年高考和数学竞赛试题中。简单地说设函数y=f（x）的图像是一条连续曲线,若x=f（x）有实数解t,则称t为函数y=f（x）的不动点。实际上不动点是曲线y=f（x）与直线y=x的交点,可用下图演示（图1）。     

双曲线切线的一个性质

<正>先看下面的问题:1)求证:曲线xy=1的切线与坐标轴围成的三角形面积是定值.2)(2008年海南宁夏高考题理21)设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.     

关于ax+by型整数的结构

最大公约数是数论中一个重要概念．在柯召所著的数论讲义中给出了对于不同时为零的整数a，b存在整数x，y，有（a，b）=ax=by的表达式．在此基础上，得到如下结论：（1）对给定的整数a，b，有（a，b）=min{ax＋by｜ax＋by〉0，x∈Z，y∈Z}；（2）{ax＋by｜，x∈Z，y∈Z}={k（a，b）｜k∈Z}．