菲波那契数列建模与高等数学教学

从数学建模角度分析了菲波那契数列的形成过程,并对模型进行了推广.分析了此数列的单调性、具体表达式、极限、与幂级数的关系,以及菲波那契数列的数学美特征.论述了菲波那契数列在高等数学教学中的方法论价值.     

不定方程整解的几个借用--几个不定方程整解的借用直取法

利用勾股数，斐波那契数和洛卡斯数，直接给出几个高次多元，整系数不定方程的整数解：正整数解和偶数解问题，并利用这些数的存在的性质，分析了整解的存在形式。     

X2+XY-Y2+k=0存在正整数解的条件

若二元二次方程X2+XY-Y2+k=0存在正整数解,则其每组解必为广义Fibonacci数列相邻二项,并且方程X2+XY-Y2+k=0具有广义Fibonacci数列的正整数解时,满足一定约束条件.Lucas数列作为一种广义Fibonacci数列,其相邻二项是X2+XY-Y2±5=0的正整数解.     

关于不定方程x2-3y4=166

利用一种初等的证明方法,对一个不定方程x2-3y4=166的正整数解进行了研究。证明过程中仅涉及到初等的数论知识,即运用递归数列、同余式和平方剩余的方法。首先利用Pell方程的解的性质把不定方程x2-3y4=166的解转化为由两个非结合类给出,然后再进一步利用相关知识使得问题简化为两种相对简单的情况,对其每一种情况都利用递归数列,同余式和平方剩余的相关知识对其是否有正整数解进行证明,如果有正整数解则进行求解。最后得出该不定方程x2-3y4=166仅有正整数解(x,y)=(13,1),(293,13)。     

关于不定方程x2-3y4=118

本文利用一种初等的证明方法,即递归数列,同余式和平方剩余的方法,对一个不定方程x^2-3y^4=118的正整数解进行了研究．最后得出该不定方程x^2-3y^4=118至少含有3个正整数解（x,y）=（11,1）,（19,3）,（650851,613）．     

关于不定方程x2-3y4=286

利用一种初等的证明方法,对不定方程x2-3y4=286的正整数解进行了研究.证明过程中仅涉及到初等的数论知识,就是运用递归数列,同余式和平方剩余的方法.首先利用Pell方程的解的性质把不定方程x2-3y4=286的解转化为由4个非结合类给出;对其每一种情况都利用递归数列,同余式和平方剩余的相关知识对其是否有正整数解进行证明,如果有正整数解并进行求解;最后得出该不定方程x2-3y4=286仅有正整数解(x,y)=(17,1),(23,3).     

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)

主要运用Pell方程、递归数列、同余式及(非)平方剩余等一些初等的证明方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)·(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解。在证明该结论的过程中,对不定方程进行变形和整理,将其化为Pell方程形式。根据得到的Pell方程整数解的情况,从而得到6类整数解。根据原不定方程的情况舍去了两类,剩余4类整数解。本文逐一对每一类整数解用同余式及平方剩余的证明方法进行讨论和证明,最后得到原不定方程无正整数解的结论。根据本文的结论也能得到这个不定方程的全部整数解,它们都为其平凡解,由于比较简单,故文中没有再给出。同时本文证明了不定方程(x2+3x+1)2-13y2=-12仅有整数解(x,±y)=(0,1),(-3,1),(-2,1),(-1,1),(-14,43),(11,43)。本文进一步完善了此类不定方程的正整数解的研究。     

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)

主要运用Pell方程、递归数列、同余式及(非)平方剩余等一些初等的证明方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)·(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解.在证明该结论的过程中,对不定方程进行变形和整理,将其化为Pell方程形式.根据得到的Pell方程整数解的情况,从而得到6类整数解.根据原不定方程的情况舍去了两类,剩余4类整数解.本文逐一对每一类整数解用同余式及平方剩余的证明方法进行讨论和证明,最后得到原不定方程无正整数解的结论.根据本文的结论也能得到这个不定方程的全部整数解,它们都为其平凡解,由于比较简单,故文中没有再给出.同时本文证明了不定方程(x2+ 3x+ 1)2-13y2=-12仅有整数解(x,±y)=(0,1),(-3,1),(-2,1),(-1,1),(-14,43),(11,43).本文进一步完善了此类不定方程的正整数解的研究.     

关于不定方程x2-3y4=222

运用递归数列,同余式和平方剩余证明了不定方程x^2-3y^4=222仅有正整数解（x,y）=（15,1）。     

关于不定方程x^2-3y^4=97

运用递归数列,同余式和平方剩余证明了不定方程x^2-3y^4=97仅有正整数解（x,y）=（10,1）。     

关于不定方程x~2+y~2+z~2=2w~2的解的研究

对不定式x~2+y~2+z~2=2w~2的非零整数解进行变换,找到了变换矩阵,并通过变换矩阵和若干个易求出的解,得到了该方程的若干组解。进而求出了一个古典刁番都方程组的若干组正整数解。     

X2+XY-Y2+k=0正整数解的条件

方程X2 XY-Y2 k=0具有Fibonacci数列的正整数解,并且方程X2 XY-Y2 k=0具有Fibonacci数列的正整数解时满足一定约束条件.Lucas数列实际上是一种广义Fibonacci数列.方程X2 X-1=0的正整数解也与Fibonacci数列有关.     

关于不定方程x2－2y4＝M(M＝17,41,73,89,97)

运用递归序列、同余式以及平方剩余的有关性质,证明了：1)不定方程x2－2y4＝17仅有正整数解(x,y)＝(7,2)和(23,4);2)不定方程x2－2y4＝89仅有正整数解(x,y)＝(11,2)和(91,8);3)不定方程x2－2y4＝41(73,97)没有正整数解.     

n元一次不定方程整数解的矩阵求法

利用矩阵的初等行变换,较简便求解一次不定方程的整数解,并且用矩阵给出其通解公式。     

丢番图方程x^2-3y^4=397的正整数解

利用递归序列、同余式、二次剩余的方法证明了丢番图方程x^2-3y^4=397仅有正整数解（x,y）=（20,1）。     

关于不定方程 x^2 4=y^7 的解

利用代数数论中的同余以及整环的一些性质,证明不定方程x2+4=y7无整数解。推进了该类不定方程的研究。     

不定方程5f~2+5fg+g~2=h~2的整数解

主要讨论了不定方程5f2 5fg g2=h2的整数解,并给出了详细的证明.     

关于不定方程3x4-2y2=z4

利用初等方法给出了不定方程3x^4-2y^2=z^4的全部正整数解．从而推广了cohn关于3x^4-2y^2=1的结果．     

关于不定方程X~2 ay~n=Z~2

本文讨论了不定方程x~2 ay~n=z~2 (x,y,z)=1,a>0的一切正整数解