关子始值问题的离散现象

1.引言 人们对非主型方程的了解还是极不充分的。Treves研究了一个简单方程 u_(xx)-x~2u_(tt)+bu_t=0的始值问题:其中b为常数,t=0为始值的支柱,在上半平面t>0求解。注意,这个方程在支柱上的一点(0,0)退化。对这个问题,Treves发现了所谓的离散现象,那就是当b等于1,     

一类退化方程的初值问题

大家知道,对于退化方程Lpu≡u_(xx)-x~2u_(tt) Pu_t=0的初值问题,在c~∞函数类中讨论,有所谓离散现象。在解析函数类中讨论,则另有一个奇怪的现象:即只要给一个初值条件就完全确定了方程(P≠0)的解。这说明退化方程具有独特的性质。本文讨论更高阶退化的情形,即讨论初值问题:     

非线性退化高阶发展方程周期边值问题的古典解

考虑非线性退化高阶发展方程=g(x,t,u,u_x…,u_xM) (1)的周期边值问题u(x,0)=u_1(x,0)=0 x∈R (2)     

关于退化方程的一个始值问题

关于退化方程的始值问题:Treves和王光寅等分别研究了它在唯一性和存在性中的离散现象,得到其离散值均为P=1,3,5,…。但在存在性的讨论中,假设x=0为ψ_0(x),ψ_1(x)的无穷阶零点,杨光俊在为了弄清这一要求是本质     

一类半线性抛物系统正解的爆破速度

近来有关抛物方程爆破问题的研究有了较大进展,越来越多的工作是对抛物系统爆破条件、爆破速度、爆破点集及渐近形态的研究,本文考虑如下Dirichlet问题: u_t-△u=υ~q,υ_t-△υ=u~q,(x,t)∈B_R×（O,T） u(x,t)=υ(x,t)=0,(x,t)∈S_R×(O,T), (1) u(x,0)=u_0(x),υ(x,0)=υ_0(x),x∈B_R, 其中B_R={|x|1（不妨设p≤q）,u_0,υ_0∈C~2是径向对称非增非负函数满足u_0(x)=υ_0(x)=0,x∈S_R且△u_0 υ_0~P≥0,△υ_0 u_0~P≥0,x∈B_R.我们得到 定理 设（u,υ）是式（1）的非平凡解,在有限时刻T爆破,那么存在常数c和C使得 c（T-t）~（-α）≤ sup_x∈B_Ru（x,t）=u（0,t）≤C（T-t）~（-α）,t∈（0,T）, C（T-t）~（-β）≤sup_x∈B_Rυ（x,t）=υ（0,t）≤C（T-t）~(-β),t∈（0,T）,     

半线性热方程的blow-up问题的一点注记

R. O. Ayeni(SIAM. J. Math. Anal, 14(1983),1),考虑如下问题:u_t=△u=f(x,t,u),t>0、掌∈经R~n (1)u(x,0)=u_0(x),u_0(x)≥0,x∈R~n (2)u(x,t)=0,当|x|→∞时,(3)在有限时间内blow-up。他对函数f的假定为     

可压缩的Navier-Stokes方程解的存在性

本文考虑如下形式的n维可压缩流体的Navier-Stokes方程(n≥2): (?)_tρ+sum from j=1 to n((?)_j(ρu_j))=0, (?)_tu_i-sum from j=1 to n(ρ~(-1)[μ(?)_j((?)_ju_j+(?)_iu_j)+μ′(?)_i(?)_ju_j])=-sum from j=1 to n(u_j(?)_ju_i-ρ~(-1)(?)_iP(ρ),(1) ρ|_(t=0)=(?)+(?)_0(x),u|_(t=0)=u_0(x),其中t≥0,x=(x_1,…,x_n),ρ为密度,u=(u_1,…,u_n)为速度,μ,μ′为粘性系数,P(ρ)为压力,为一常数,用|·|_s表示Sobolev空间范数。有如下结论:     

关于强对称和遗传对称算子性质的几点注记

§1.引言和记号 考虑非线性发展方程 u_t=K(u),(1)这里,u=u(x,t),K是u以及各阶微商的导数的函数。例如当K(u)=6uu_x+u_(xxx)时,方程(1)就是著名的kdv方程。下面的方程     

KP方程的Lax对和Bcklund变换

Kodomtsev-Petviashvili方程(u_t 6uu_x u_(xxx)_x u_(yy)=0 (1)是一个1 2维的非线性演化方程。现给出KP方程的一个Lax对,并利用这个Lax对给出它的一个Darboux型的Bcklund变换     

低维有限点集偏差的精确计算公式(Ⅲ)

本通信是文献[1]和[2]的继续.设d≥2,S_d={u_k(l≤k≤n)}是d维单位立方体G_d=[0,1)~d中的有限点集,u_k=(u_(1,k),u_(2,k),…,u_(d,k)满足u_(1.1)≤u_(1.2)≤…≤u_(1.n). 令u_0=(u_(1.0),u_(2.0),…,u_(α.0)=(0,0,…,0),u_(n 1)=(u_(1,n 1),u_(2,n 1),…,u_(d.n 1))=(1,1,…,1).对于每个l_1(l_1=0,1,…,n)按递增顺序排列 u_(2.j)(j=0,1,…,l_1,n 1),并将它们记作     

N×N非等谱AKNS族的李代数结构

设V_0=diag(d_1,…,d_N),V_1=((1-δ_(ij))u_(ij)),其中d_i为互异复常数,位势u_(ij)=u_(ij),(x,t)对固定的t取自Schwartz空间     

核反应动力学中的一个半线性抛物型方程组

本文讨论核反应动力学数学模型的半线性抛物型方程组的初边值问题正平衡解的存在性与门槛结果,其中u_1是中于通量,u_2是反应堆温度.a,b,α>0,Ω(?)R~N有界,(?)Ω∈C~β,u_(10)(x),u_(20)(x)∈C~β(Ω),0 <β<1,n是(?)Ω上的单位外法向.(1)式的边界条件表示系统与外界有热交换.当α=0,即系统绝热时,许多作者都讨论过(1)式的解的整体存在性、渐近性和爆破问题,见文献[1,2]及其参考文献.由抛物型方程组的经典结论容易知道(1)存在局部解且非负.同时容易证明,当B≤0时(1)式的解整体存在且一致趋于零(t→ ∞).下面我们只讨论B>0,作变换可认为B=1.先讨论(1)式的正平衡解的存在性.     

Burgers方程的对称的李代数

对Burgers方程 u_t=u_(xx)+2uu_x,已经知道它有一个强对称Φ=D+u+u_xD~*(-1)和两组对称K_n=Φ~nK_0,τ_n=Φ~nτ_0(n=0,     

Banach函数空间内的В.В.Немыцкий算子的连续性和有界性

定义1设G是欧氏空间中的可测集且mesG<∞,G×R~1上的实函数f(x,u)满足Caratheadory条件,即它对于几乎所有的x∈G关于u连续,而对于每个u关于x可测。算子h表示 (hu)(x)=f(x,u(x))。定义2 对于G上的Banach函数空间X,如果(i)存在C>0使当U(X)∈(X)时‖u‖_1 ≤C‖u‖_x,(ii)当u_1(x)∈L_1,u_2(x)∈X和|u_1(x)|≤|u_2(x)|时,u_1(x)∈X且‖u_1‖x≤‖u_2‖x,(iii)G上的特征函数x_G(x)∈X;则称X为理想空间。X的闭子空间X_o是具有绝对连续范数的函数的全体(见文[2])。     

一个Liouville完全可积的Neumann系统

考虑谱问题 y_(xx)=(u_0+U_1λ+u_2λ~2-λ~3)y (1)和特征函数的时间演化方程     

自然数集N的(a,b,k)型可加划分

设N是自然数集,U={u_m}是一个自然数的递推序列,其递推公式:u_m=u_(m-2)+u_(m-1)+k,k≥0,m≥3,初始值:u_1=a≥1,u_2=b≥1。若N有一个无序划分:     

x-Kdv方程的不变变换与守恒律

具有松弛效应非均匀介质中的Kdv方程为R(u)≡u_t+2βu+(α+βx)u_x-6uu_x+u_(xxx)=0,(1)其中α,β为常数,简称方程(1)为x-Kdv方程。我们可得方程(1)的包含四个任意参数的不变变换为     

R~3中一个非线性Schrdinger方程解的渐近性

我们考虑非线性Schrdinger方程: iu_t △u |u|~u=0,在R~3×R_ 中 (E) u(0)=u_0∈H~2(R~3),这一方程出现在激光束自聚焦现象的数学描述中, 我们讨论方程(E)的解的渐近性。     

Burgers方程的无穷组对称

我们讨论Burgers方程 u_t=u_(nx)+2uu_x (1)的对称和强对称。已知的结果是,它有一个强对称算子     

二阶混合型方程的广义Tricomi问题

1.问题的提出 在区域■(=■~ U■~-)中考虑混合型方程 Lw≡k(x,y)w_(xx) w_(yy) α(x,y)w_x β(x,y)w_y γ(x,y)w=f(x,y),(1)其中函数k(x,y)满足条件:yk>0当y≠0,k(x,0)=0,k∈C~1((?)),α,β,γ∈C((?)),f∈L_2((?))。(?)~ 的外边界是一条逐段光滑曲线Γ_0,两端和蜕型线上A,B点相连接,(?)~-的