关于亚纯函数与其各级导数的公共波莱耳方向问题的一些结果

若 f(z)为有穷正级的亚纯函数,则 f(z)的每一条 Borel 方向或者是 f~(n)(z)(n=1,2,…)的Borel 方向,或者是(1/(f(z)))~(n)(n=1,2,…)的 Borel 方向;用此结果简化了张广厚一个结果的证明:有穷正级亚纯函数若以一个有穷值为 Borel 例外值,则函数的每条 Borel 方向也是有各级导数的 Borel 方向;同时还得到:若 f(z)为有穷正极的亚纯函数,且(?)(log+m(r,f))/(logr)=ρ-ε_0,ε_0>0则 f(z)的每一条 Borel 方向必是 f~(n)(z)的 Borel 方向(n=1,2…)。     

具有Borel例外值的亚纯函数的唯一性

改进了仪洪勋、林伟川等人关于整函数唯一性的定理,得到了关于具有Borel例外值并且级为有穷非整数的非常数亚纯函数的唯一性的结论.设f(z)、g(z)为非常数亚纯函数,g(z)的级λ(g)为有穷非整数,0和∞是f(z)与g(z)的CM分担值,f(z)为正规增长函数,且∞为f(z)的Borel例外值,若存在两个非零有穷判别的复数a1、a2,满足 - E1)(aj,f)(∩)-E1)(aj,g)(j=1,2)且max{(1)(0,f),δ(a1,f),δ(a2,f)｝＞0,或者满足-Ekj)(aj,f)(∩) -Ej)(aj,g)(j=1,2),其中k1≥1,k2≥2,则f(z)≡g(z).     

关于下级为有穷正数的整函数的亏整函数总数

杨乐、张广厚证明了:对於有穷正级整函数f(z),若P为f(z)的亏值总数,q是f(z)的Borel方向总数,则P≤q/2。定义1 设f(z)为亚纯函数,a(z)为∞或亚纯函数,满足     

关于公共Borel方向的一个反例

对有穷正级的亚纯函数 f(z),1928年 valiron 猜想它与其各级导数间至少存在一条公共的 Borel方向。1951年 Milloux 取得重大进展,得到定理 A 设 f(z)是有穷正级整函数,则 f′(z)的每条 Borel 方向亦是 f(z)的 Borel 方向。也即 Valiron 猜想对整函数是成立的。很自然地会问 Milloux 定理对亚纯函数是否成立。1980年Steinmetz 在与 Hayman 通信中给出了一个例子 f(z)=d~z/1+e~(iz),并指出 argz=0是 f′(z)的 Borel 方     

有穷下级整函数的奇异方向

对于λ(0<λ<∞)级整函数f(z),杨乐、张广厚获得:若f(z)的Borel方向总数q有穷。则f(z)的有穷亏值总数P<2λ。本文类似[1]的证明方法得到:整函数f(z)的下级μ有穷,设q为f(z)至少μ级Borel方向总数,若q<+∞,则f(z)的有穷亏值数p<2μ。其中f(z)至少μ级Borel方向指由原点发出的半直线B:argz-θ_0(0≤θ_0<2π),对于任意正数ε和每个复数a都有 (?)(logn(r,θ.,ε,f=a)/logr≥μ (*)至多除去两个例外的复数。     

函数沿射线的增长与公共Borel方向

关于亚纯函数与其导数之间的公共Borel方向的研究,是函数值分布论中多年来所研究的一个课题。庄圻泰先生和张广厚同志对此曾得到了一系列的结果,其中之一是张广厚得到了有穷正级亚纯函数,若以无穷值为它的Borel例外值,则函数与其各级导数和各重积分(假设存在)之间至少存在一条公共的Borel方向。本文指出在同样条件下,若函数f(z)的级ρ大于1/2,则函数与其各级导数和各重积分(假设存在)之间至少存在两条公共Borel方向。     

关于公共Borel方向的一个反例

对有穷正级的亚纯函数f(z),1928年valiron猜想它与其各级导数间至少存在一条公共的Borel方向。1951年Milloux取得重大进展,得到定理A设f(z)是有穷正级整函数,则f′(z)的每条Borel方向亦是f(z)的Borel方向。也即Valiron猜想对整函数是成立的。很自然地会问Milloux定理对亚纯函数是否成立。1980年Steinmetz在与Hayman通信中给出了一个例子f(z)=e~z/1 e~(iz),并指出argz=0是f′(z)的Borel方向,但不是f(z)的Borel方向。不过他没有给出证明。其后,杨乐和张庆德利用Dickson的结果给以证明。本文给出—个初等的直接证明。一、argz=0不是f(z)的Borel方向。     

全纯函数的Hayman点

设f(z)于单位圆盘全纯,级λ为有穷正数,则在单位圆周上必存在λ级Hayman 点,即存在一点z_0=e~(iθ_0),使对任意正数ε,f(z)在角域|argz—θ_0|<ε中没有有穷的λ+1级Borel 例外值或者它的每一级导数f~((k))(z)没有有穷非零的λ+1级Borel 例外值.     

亚纯函数的充满圆和公共Borel方向

设argz=θ0为λ级亚纯函数f(z)的λ级Borel方向(O<λ< ∞)．若argz=θo不是f′(z)的λ级Borel方向．则存在f(z)的一列λ级充满圆{DK}，K=1，…，使得，m(DK),f=0)=r(Dk，f=1)     

关于复微分方程f″＋A（z）f′＋B（z）f=0具有无穷级解的角域测度

通过利用Nevanlinna值分布理论，考虑了当A（z）、B（z）是有穷级整函数的情况下，线性微分方程f″＋A（z）f′＋B（z）f=0无穷级解的角域测度。首先得到了一个一般性结果，接下来又结合了整函数的亏值和Borel方向进行讨论，使所得结果得到进一步完善。     

关于拟亚纯映射在Borel方向上的充满圆

对于开平面上的有限正级亚纯函数在其Borel方向上的性质,A.Rauch证明了一个重要定理.本文对于开平面上K-拟亚纯映射在Borel方向上的性质进行了研究,证明了正级(包括无穷级)和部分零级K-拟亚纯映射在Borel方向上一定存在充满圆序列,推广了A.Rauch的结果.     

本性奇点的阶及其Borel方向

本文给出了一般本性奇点的阶的定义,证明了在有限正阶本性奇点附近的亚纯函数均存在Borel方向.     

关于一个亚纯函数与其各级导数的公共Borel方向

证明了下列定理: 设 f(z)为一有穷正级λ(0<λ<+∞)的亚纯函数, 并设L: argz=θ₀为一方向。假定任给二数δ(0<δ<1)及ε(0<ε<λ), 恒可得一数r₀使对于每一数r>r₀,集合{z || z-re^iθ₀|<δr, |f(z)|≤e^rλ-ε}不能范围在有穷个圆|z-z_j|<ρ_i(j=1,2,...,p),Σ^p_j=1ρ_j≤e^-rε中,则下列二结论成立:1) 若对于一整数m≥1, L为f^(m)(z)的一个λ级Borel方向, 则L为f(z)的一个λ级Borel方向。2) 若L为f(z)的一个λ级Borel 方向, 则L为f(z)和所有各级导数 f^(m)(z) (m=1,2,...)的一个公共λ级Borel方向。     

单位圆内亚纯代数体函数的Borel点的存在性

本文在单位圆内对有穷正级的v值亚纯代数体函数定义了Borel点,并证明了其存在性。     

关于亚纯函数的单充满圆

本文继续关于亚纯函数的单充满圆一文的研究,证明了亚纯函数的单充满圆存在性(?)理,应用它可以把庄圻泰著的亚纯函数的奇异方向一书的第五章全都定理和系理变成单级极点的情况,无穷级情况易由voliron角域不等式得到,我们仅就有穷正级、零级情况讨论之。     

拟亚纯映射的最大型Borel点

研究比亚纯函数更广的一个函数类——K-拟亚纯映射的值分布问题。相应于曾繁富、孙道椿在参考文献[1]中获得的全平面情形的最大型Borel方向结果,讨论了单位圆情形,证明了单位圆内有穷正级拟亚纯映射至少存在一个最大型Borel点,推广了亚纯函数情形的相应结论。     

单位圆内亚纯函数及其导数的幅角分布

本文得到如下结果:设f(Z)为|Z|<1内ρ(0<ρ<∞)级亚纯函数,则必存在点e~(iθ)|(0<θ<2π),使得对于任意正数K及任意两个有穷复数a,b(≠0),都有     

某类差分方程亚纯解的值分布

讨论了某类差分方程的有限级亚纯解的Borel例外值,极点、零点以及不动点的收敛指数．得到的结果对一些差分方程解的存在性的研究有着极大的意义．     

方程f″+Af'+Bf=0的解在角域内的增长性及Borel方向

运用角域内值分布的理论和方法,研究了整系数2阶线性微分方程f”+Af’+Bf=0的解在角域内的增长性和Borel方向.在给定条件下,证明了方程的每一非零解在含有B的λ(λ＞0)级Borel方向的任意角域内的增长级均为无穷,且B的λ级Borel方向与解的无穷级Borel方向一致.     

关于迭代级亚纯函数的Borel例外值、充满圆及Borel方向

利用亚纯函数的迭代级的概念，研究迭代级亚纯函数的Borel例外值、充满圆及Borel方向，推广了已有的结果。