略论马克思的微分概念和非标准分析的微分概念的一致性

恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程:运动.”(《自然辩证法》P.249)因此,微分学是描述运动的科学.它的基本概念——微分就是用来描述运动的概念.那么,运动是什么?马克思在《数学手稿》中是怎样用概念来描述运动的?按照辩证唯物主义的观点,“运动就是矛盾;甚至简单的机械运动的位移之所以能够实现,也只是因为物体在同一间瞬既在一个地方又在另一个地方,既在同一个地方又不在同一个地方.这种矛盾的连续产生和同时解决正好就是运动.”(恩格斯:《反杜林论》P117)这就是说,运动物体所处的时间和空间既有确定(即常住性)的一面,又有否定(即可变性)的一面,运动就是这种确定性和可变性的矛盾对立统一.     

变量和微分

辩证唯物主义认为:客观世界是运动的世界,运动是物质的存在形式。没有脱离物质的运动,也没有脱离运动的物质。事物何以运动呢?就在于事物的内部,在于事物内部的矛盾性,在于事物内部矛盾又斗争又统一而带来的发展。毛主席说:“矛盾是简单的运动(例如机械运动)的基础,更是复杂运动形式的基础。”因此可以说运动就是矛盾,是矛盾的统一。     

关于函数概念教学的思考

函数及其图像在中学代数中占有重要的地位,是后继课学习的基础.因此,务必掌握.正确理解函数概念是学好函数及其图像的关键.关于函数的概念,教材中指出:“设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数”.正确理解这一概念要把握下列内容:第一、函数概念涉及两个变量x和y,讲的是它们之间的某种关系;第二、变量x是在某一范围内取值,这个变量叫作自变量,x的取值叫作自变量的取值范围,也叫做函数的定义域;第三、变量x和y要有确定的对应关系,即对于x的“每一个确定的值,y都有唯一确…     

场统一之后的思考

在场统一的基础上，提出并论证静电场E和磁场B1的统一体就是电磁运动所表现的“电磁空间”，万有引力场g和磁场B2的统一体就是机械运动表现的空间，称它为“牛顿空间”；明确磁场B1和磁场B2分别属电磁物质和机械物质的“动量场”；论证电荷属电磁运动的“电磁物质”；指出空间与物质是运动表现的矛盾的两个方面，都是运动存在的表现形式，肯定运动绝对性的概念，批评“唯物质论”者们坚持物质绝对化的错误；将物质的原概念进行必要延伸，给出物质新定义；又一次揭示空间的机械能势转换和守恒定律；根据空间和物质的本质关系，将力统一成矛盾的两类力，即“统一力”和“破坏力”；简述依据空间属性否定电磁波属物质的观点，强调应充分重视它传递信息的本质属性。     

借助具体函数的学习促进学生对函数概念的理解

比较了人教版、北京版和北师大版初中数学教材中“反比例函数”第一节内容与例习题编排的异同,认为教师在教学中应借助具体实例的分析加强学生对函数的理解,应注重函数的多种表示,加强对变量、运动、变化的体现与分析。     

关于《高等数学》教学的一点探讨

针对“变量说”的函数定义,结合函数概念的历史与现状,探讨如何在教学中利用映射引进一元函数及多元函数概念。     

对立统一法则支配“导函数概念”的建立

围绕马克思《数学手稿》的学习和讨论,事实上已对微积分学中许多重要问题,例如什么是“导函数”、“微分”?怎样看旧“极限”?以及对“变量”、“连续性”、“积分”等概念如何理解都有着不同程度的争论。而对“导函数”这个概念的理解,会在一定程度上反映对其它问题的认识,因此讨论清楚“导函数”概念是较为关键的问题。     

函数教学瓶颈问题的探究

函数在数学研究学习中有着举足轻重的地位,它是常量数学到变量数学转折的关键,是变量数学的起点。同时函数概念是初中数学中最难形成的概念之一。作为数学课堂教学的实践者和研究者,深入分析制约函教学的瓶颈及采取必要的应对策略,是一个值得深入探索的问题。从学生学习函数的困惑及应对策略进行了力所能及的探索。     

复变量函数与实变量函数性质的比较

复变函数论是数学的一个重要学科,它在数学的其他分支以及自然学科的其他研究领域(如力学和电磁学等)中都有重要应用。《复变函数论》是数学专业本科的重要基础课,作为《数学分析》的后续课程,《数学分析》所研究的有关实变量函数的许多定义与定理均可以推广到复变量函数。同时,由于数域的扩充,复变量函数与实变量函数在性质上也有一些重要的差异。本文从若干方面探讨了实变量函数与复变量函数在概念性质上的区别与联系,并进行了较为详细的归纳总结。     

谈谈函数概念教学中应注意的几个问题

函数概念是数学中最重要的概念之一。笔者想就教学函数概念时应注意的问题,谈点粗浅的看法,供教学参考。一、突出定义的主要矛盾,揭示概念中的本质属性列宁曾指出:“概念来之本质,而本质来之存在” (《黑格尔〈逻辑学〉一书摘要》)。概念是人们对客观事物的一种认识,是反映客观事物的本质的最基本的思维形式。所谓定义,就是通过揭示概念所反映的客观事物的规律,来阐明概念所反映的客观事物的本质。函数的定义正是这样。大家都知道,旧教材的函数定义是:“在研究某一问题的过程中,存在着互相联系着的两个变量x和y,如果对于变量x在其允许值范围内,每取一个确定的值,变量y都依确定     

哲学教学方法点滴淡

<正> 一、如何讲解哲学概念1、用系统论的方法分析哲学概念。哲学概念,其外延广泛,内涵丰富,文字表述高度抽象概括。如何讲清哲学概念,是哲学教学中经常遇见的难题。有的教师讲解哲学概念,功夫不花在对概念内容的分析上,只是从词义上作诠释,或用事实作例解,有的虽有一些分析,但以偏概全,零散无序,这都只能给学生留下空洞抽象、浑沌笼统的印象。事实上任何一个哲学概念,都是由若干要素组成的有机系统。要使学生对哲学概念获得准确而全面具体的了解,应用系统论的方法,对哲学概念的要素及其结构,作出透彻的分析。如讲“矛盾”概念,“矛盾是指事物内部各方面之间以及事物之间既对立又统一的关系”,就应该按其内在逻辑分成三个层次分析,一、矛盾是关系不是实体;二、关系的承担者是事物或事物内部各方面;三、关系包括对立关系和统一关系,在这分析之后,再举事例说明。又如讲“实践”概念,“实践是处于一定社会关系下的人有目的地改造客观世界的物质性活动”,就应该从表述中归纳出实践的三个基本特点:客观物质性、自觉能动性、社会历史性作明确的解释。再如讲“认识”的概念,“认识是在实践基础上主体对客体的能动反映”,就要从三个角度进行阐释。一是,认识是主体对客体的反映,这与唯心主义、不可知论相区别;二?     

怎样认识微分——学习马克思《数学手稿》的体会之一

从十九世纪五十年代起,伟大的革命导师马克思,从无产阶级革命斗争的需要出发,配合政治经济学、哲学的研究,开始钻研数学。写下了《数学手稿》这部马克思主义的珍贵文献。为我们用唯物辩证法研究自然科学树立了光辉的典范。一、怎样表示X的增长?变量 x和 y 之间的函数关系 y=f(x)不仅包含变量 x 和 y 本身的相互关系,而且也隐含着他们变化的相互关系。“运动本身就是矛盾”。而微分学的本质就在于表现运动自身的矛盾。马克思的方法和微分学发展史上其他的方法相比较,关键“问题在于如何表示 x 的     

学习《数学手稿》试谈变量定义的改革

变量是高中数学中的一个重要概念,它是中学生学习变量数学的基础。什么是变量呢?在过去的中学数学教材中一般是这样定义的:“在研究某个问题的过程中,可以取不同数值的量叫做变量。”新编的北京市中学数学教材(1976年版)对这个一直沿用的定义进行了改革,改为:“在事物发展的过程中,一种量不断变化,可以取不同的数     

函数概念诞生的标志

目的 系统探讨函数概念诞生的原因及时期.方法 历史分析和文献考证.结果 通过将函数概念的形成过程与"数学化"思想的发展过程相比较,指出虽然在两个量之间的依赖关系已有4 000年的历史,但依赖关系的思想不等于函数思想,其概念的产生是随着函数思想的出现而出现的.结论 只有变量数学出现以后才有可能产生函数思想,故函数概念的产生是从变量数学出现以后开始的.     

从静电场中的E和U看场中点与整个场的关联

静电场中,电场强度(?)和电势U是描写场固有特性的两个很重要的物理量.(?)、U都是场点的单值函数.一为矢量,一为标量.但(?)和U并非互不关联,对场中某点而言,(?)和U又互为对方的单值函数.亦:U=U(?)……(1)(?)=(?)(U)……(2).有趣的是这两个关系式把“动”与“静”、“点”这个有限空间与“场”这个无限空间这两对对立的矛盾统一在一个等式里了.下面我们从这两个式子的具体推演看这两对矛盾是怎样“统一”的.     

第四讲 数学是一种辩证的辅助工具和表现方式——学习《自然辩证法》〔数学〕札记(Ⅱ)

数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的科学,而现实世界又充满着矛盾的辩证发展过程,因此,数学也必然充满矛盾,充满辩证法。正如恩格斯所指出的,高等数学充满着矛盾,“连初等数学也充满着矛盾”。(《反杜林论》第119页)“数学:辩证的辅助工具和表现方式”(《自然辩证法》第3页。以下凡引用此书中的话,只注明页码。)根据这一基本观点,恩格斯在《自然辩证法》〔数学〕的第2-14、16个札记中,列举大量材料,以数学概念、数学运算和数学中量与质等三个方面,深刻揭示了数学内容的辩证性质。 (一)数学概念的辩证性质恩格斯在〔数学〕的第5-8、10-14个札记中,运用对立统一的观点,分析了某些数学概念的辩证性质     

机械运动的内部矛盾

本文运用唯物辩证法的最根本法则——对立统一的法则,结合了一些力学的概念来探讨机械运动的内部矛盾。文中说明了“力”的本质,并讨论了机械运动的一些重要的内部矛盾。指出从动力学的观点来看,当着眼点在单个物体机械运动的变化时,内部矛盾表现为惯性与运动不灭的属性的矛盾,而外力是外部原因;当着眼点在若干物体内传递机械运动时,内部矛盾是作用和反作用的矛盾。从运动学的观点来看,“在这地方”和“在另一个地方’的斗争与统一推动了物体的机械位移。     

二百余年的概念科学性之争——函数概念的演进

由于微积分学的产生与发展,函数概念也不断进行扩张,日趋深化。函数概念的第一次扩张主要是解析扩张,第二次扩张是几何扩张,第三次扩张是“关系说”,第四次扩张是“对应说”,第五次扩张是在康托儿创立集合论之后,在“集合对应”的基础上,近世函数定义的产生。函数概念经过了二百多年的锤炼、变革,最后才真正建立了清晰、准确、完美的函数定义。然而数学的发展是无止境的,人们还在探索更为广泛的函数定义。     

拉丁美洲名称的来历

鞍山读者俞大伟来信说,“拉丁美洲”这个称谓既象政治概念,又象地理概念,不够科学。最好以地理区划来称呼。他认为,“拉丁美洲”实际上是部分北美洲与中美洲、南美洲的混合体。它既不是一个政治实体,又不是一个地理区划,容易造成概念上的混乱。现请钟帆同志谈谈“拉丁美洲”这一称谓的来历。——编者     

浅谈初等数学中的辩证法——学习《自然辩证法》的体会

马克思主义认为,万事万物都是一分为二的,都是对立的统一。毛主席说:对立统一规律是宇宙的根本规律。这个规律不论在自然界、人类社会和人们的思想中,都是普遍存在的”。数学也不例外,恩格斯曾多次指出,矛盾不但是高等数学的基础,“就是初等数学,也充满着矛盾”。自觉地认识和运用数学中的矛盾,对于我们在认识自然和改造自然的斗争中,更好