一道竞赛题的若干解法

题　分解因式 :a2 +2 b2 +3c2 +3ab+4ac+5bc( 1991年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题 )。　　一、赋值法解 :令 a=0 ,则原式 =2 b2 +3c2 +5bc=( b+c) ( 2 b+3c)令 b=0 ,则原式 =a2 +3c2 +4ac=( a+c) ( a+3c)令 c=0 ,则原式 =a2 +2 b2 +3ab=( a+b) ( a+2 b)∴原式 =( a+b+c) ( a+2 b+3c)　　二、双十字相乘法解 :原式 =a2 +3ab+2 b2 +( 4 a+5b) c+3c2 =( a+b) ( a+2 b) +( 4 a+5b) c+3c2 =( a+b+c) ( a+2 b+3c)　　三、待定系数法解 :原式 =( a+b) ( a+2 b) +3c2 +4ac+5bc设原式 =( a+b+m) ( a+2 b+n) ,则原式 =a2 +3ab+2 b2 +a( n+m) +( n…     

一类积数列方幂和

设a、b为复数,n,s,r,c,d为正整数△=c+rs,下面一类积数列方幂和直接计算公式为: 计算公式(1)是以组合数为基元的一次为项式(P=0,1,…,△),其项数至多为△+1项,系数D(△,P)是仅与a,b,s,r,c,d有关而与n无关的数,进一步将(1)化为关于n的△+1次多项式     

一类Baer半单纯环的交换性

对于满足一定条件的Baer半单纯环讨论了其交换性,得到了两个结论:(1)设R为Baer半单纯环,C为R的中心,G(a,b)(a,b∈R)是由a,b生成的乘法子半群,若有自然数e,对任意a,b∈R,恒有小于e的自然数n=n(a,6)>1,使对于任意x,y∈G(a,b),有(xy)n-xnyn∈C,则R为交换环.(2)设R为Baer半单纯环,C为R之中心,若有自然数e,对任意a,b∈R,恒有自然数k=(a,b),n(a,b)+1,n(a,b)+2≤e,使得(ab)k-akbk∈C,则R为交换环.     

关于竞赛图弧泛反回路性的一个猜想

设D=(V,A)是一个有向图,若对于任意a,b∈V,在D中总存在从a到b的长度为k(k=d,d+1,…,p-1)的路(这里d为a到b的距离,p=|V|),则称D具有强路连通性。若对于任意的(v_0,v_1)∈A,D中总存征从v_1到v_0的长度为k(k=2,3,……,p-1)的路(记为P_k(v_0,v_1)),则称D具有弧泛回路性。若对于任意(v_0,v_1)∈A和     

具有零因子的一类代数

[1]决定了具有 n(n≥2)个零因子且元数为 n~2的有限交换环的结构,本文考查代数的情形,将元数换成极大无关组所含元素的个数,决定相应的代数的结构.设 F 是特征零的域,K 是 F 上 n 次扩域,命A={(a,b)|a,b∈K},规定 A 的纯量乘法、加法、乘法分别为:α(a,b)=(αa,αb),Aα∈F,(a,b)+(c,d)=(α+c,b+d),(a,b)·(c,d)=(ac,ad+bc),     

关于广义morphic环和伪morphic环的注记

R称为左广义morphic环,若对每个a∈R,存在b,c∈R使得l(a)=Rb,l(b)=Rc。R称为左伪morphic环,若对任意的a∈R,存在b,c∈R使得Ra=l(b),Rb=l(c),其中l(a),l(b),l(c)表示R中元素a,b,c的左零化子。本文主要研究广义morphic环和伪morphic环的部分性质,通过例子说明某些结论的逆命题不成立。反例,设R是环,n≥0,R[x]/(xn+1)是左广义morphic环,则R是左广义morphic环,反之不成立。     

与分担值相关的亚纯函数的正规性

主要运用了Pang-Zalcman引理,研究分担值与正规族的关系,得到了与分担值相关的结论:设F是区域D内的亚纯函数族,a,c是非零的有穷复数,b,d是正实数.若对F中任意的函数f,f的零点重数至少是k+1,并且有f(z)的k阶微分多项式等于a推出f的模大于等于b;f等于c推出f(z)的k阶微分多项式的模小于等于d,则F在D内正规.     

一种开口光滑弧上奇异积分方程的求解

本文主要讨论非线性奇异积分方程ψ2(t)+b0+b1t/πi∫Lψ(τ)/τ-td τ+(d0+d1t)ψ(t)+c(t)=0,t∈L=(^ab),t≠a,b其中L是一条开口光滑弧.b0+b1不同时为0,b0,b1,d0,d1为已知常数,c(t)表示多项式c0tn+c1tn-1+…+c0.在H(o)lder连续函数空间中的求解问题.     

一类指数型差分方程系统正解的渐近行为

研究指数型差分方程系统x_(n+1)=a+bx_ne~(-yn_(-1)),y_(n+1)=c+dy_ne~(-x_(n-1)),n=0,1,…正解的有界性、不变区间、平衡点的局部渐近稳定性及全局吸引性,其中参数a,b,c,d为正常数,初值x_(-1),x_0,y_(-1),y_0为非负实数.最后,结合实例,通过Matlab数值模拟验证了结论的正确性.     

一类Baer半单纯环的交换性

对于满足一定条件的Baer半单纯环讨论了其交换性,得到了两个结论:(1)设R为Baer半单纯环,C为R的中心,G(a,b)(a,b∈R)是由a,b生成的乘法子半群,若有自然数e,对任意a,b∈R,恒有小于e的自然数n=n(a,b)>1,使对于任意x,y∈G(a,b),有(xy)n-xnyn∈C,则R为交换环。(2)设R为Baer半单纯环,C为R之中心,若有自然数e,对任意a,b∈R,恒有自然数k=n(a,b),n(a,b)+1,n(a,b)+2≤e,使得(ab)k-akbk∈C,则R为交换环。     

广义复变函数论(Ⅰ)

本文在王戍堂教授1979年引进的广义数理论的基础上建立广义复变函数论的一些基础工作。广义复数是形如z=(…,z_(-m),…z_0,z_1,,…,z(?),…)的列,其中对于每一个n∈I(整数集),z(?)=x_n iy_n x_n,y_n∈实数域R,m、n均为自然数,且只有有限个m,使z_(-m)≠O。一切广义复数之集称为广义复数系,记为Z。Z中元素间的加、减法     

正规函数的一个判定方法

给出了一个全纯函数为正规函数的判定方法，设f为单位圆盘△上的一个全纯函数，a，b为两个判别的复数，b≠0，c为任意非零复数，若雷-E(0，f)包含-E(a，f′)，-E(b，f)包含-E(c，f′)，则f(z)为单位圆盘△上的一个正规函数。     

一类二阶常微分方程边值问题解的存在性

设f:[0,1]×R2→R满足Caratheodory条件,a,b∈L1[0,1],a(·)≥0,b(t)≥0满足0≤∫10a(t)dt＜1,0≤∫10b(t)dt＜1,运用Leray-Schauder原理考虑了边值问题x″(t)=f(t,x(t),x′(t)) e(t),t∈[0,1],x′(0)=∫10b(t)x′(t)dt,x(1)=∫10a(t)x(t)dt解的存在性.     

一类变形的McMullen集的维数及其应用

研究了平面上一类变形的Mc Mullen集R=∑∞k=1a00b-kxkyk,(xk,yk)R,其中整数a,b满足|a|≥|b|1或者|b|≥|a|1,有限整数点集R{(i,j),i=0,1,…,n-1,j=0,1,…,m-1},得到了这类自仿射集的Hausdorff维数和Box维数的计算公式.并且作为其应用给出了自仿射集R=∑∞k=1a bb a-kxkyk,(xk,yk)R相应的Hausdorff维数和Box维数,其中整数a,b满足|a-b|≥|a+b|1或者|a+b|≥|a-b|1有限整数点集R{(i+j,-i+j),i=0,1,…,|a-b|-1,j=0,1,…,|a+b|-1}.     

一类二阶广义Sturm-Liouville积分边值问题的可解性

设f:[0,1]×R2→R满足Caratheodory条件,a,b,e∈L1[0,1],利用Leray Schauder原理,获得了边值问题:xn=f(t,x(t),x′(t))+e(t),t∈(0,1),αx(0)-βx′(0)=∫01 a(t)dt,γx(1)+δx′(1)=∫01 b(t)x(t)dt,解的存在性.     

正规族与分担值

设F是区域D上的亚纯函数族,a,b≠0,c是3个互异有穷复数.对F中的任意一个函数f,如果满足条件Ef(a)(∈)Ef′(a),Ef(b)(∈)Ef′(b),Ef′(c)(∈)Ef(c),则F在D上正规.特别地,有例子表明,此定理的条件是必要的.     

单位圆内亚纯函数及其导数的幅角分布

本文得到如下结果:设f(Z)为|Z|<1内ρ(0<ρ<∞)级亚纯函数,则必存在点e~(iθ)|(0<θ<2π),使得对于任意正数K及任意两个有穷复数a,b(≠0),都有     

四元数环Q(R)的几点性质

设R是一个环,文〔1」引入了R上的四元数环的概念,其定义如下.令 Q(R)={ae bi e夕 d丸la,b,e,d〔R}.在O(R)中规定 (l)ae b玄 ej d北=a产e b产玄 e产j d峨当且仅当a=a,,b二b尹,e=e‘,d=d,, (2)(ae b艺 e了 d化) (a,e b,玄 e,夕 d,k) =(a a,)e (b b,)落 (e e尹)j (d d‘)k. (3)( ae b玄 ej d瓦)(a产e b尹i e产j d,k) =(aa产一bb尸一ee产一dd产)e (ab尹 ha产 ed产一de产)玄 (ae尸一ea尸 db尸一bd,)j (ad尹 da产 be尸一eb/)瓦.则在这样的加法及乘法下,O(R)作成一个环,称为环R上的四元数环.本文讨论四元数环的单位元、幂零性及交换性等重要性…     

渐近非扩张映射的不动点三步迭代

设D是一致凸空间中的非空紧凸子集,T:D→是渐近非扩张映射且F(T)≠,kn≥1,∑∞n=1(kn-1)<∞,设{un},{u′n},{u″n}是D中有界序列,{an},{bn},{cn},{a′n}{b′n}{c′n}{a″n},{b″n},{c″n}是[0,1]中序列且满足:i)an+bn+cn=a′n+b′n+c′n=a″n+b″n+c″n=1;ii)b″n,b′n∈[a,b](0,1);bn∈[0,b];iii)∑∞n=1cn<∞,∑∞n=1c′n<∞,∑∞n=1c″n<∞.对x1∈D,定义:zn=anxn+bnTnxn+cnun;yn=a′nxn+b′nTnzn+c′nu′nn≥1;xn+1=a″nxn+b″nTnyn+c″nu″n则{xn},{yn},{zn}强收敛于T的不动点.     

构造法解题浅析

纵观一些数学竞赛题 ,要求知识面广 ,难度大 ,题型新颖 ,具有创新性特征 ,有不少试题在形式结合上独有其特征。如果善于抓住其内在特征进行联想、发散 ,将欲解的问题恰当地构成另一个数学模型 (如方程、复数、不等式、函数、图形等 ) ,那么往往可以化繁为简。这种解题方法 ,习惯称为构造法。下面分类举例浅析。　　一、构造方程解题例 1　已知 a、b、c是实数 ,试确定最大的 c,使 a+b+c=5,ab+bc+ca=3分析 :由题设条件可变为 a+b=5- cab=3- c( 5- c) 联想根与系数关系构造一元二次方程 ,然后用判别式即可获解。解 :由题设构造以 a、b为两根的…