构造变系数非线性发展方程无穷序列精确解的一种方法

为了获得变系数非线性发展方程的无穷序列精确解,给出一种辅助方程的Bcklund变换,并用符号计算系统Mathematica构造了广义变系数KdV方程和带强迫项变系数组合KdV方程的无穷序列精确解.这里包括无穷序列光滑孤立子解和无穷序列尖峰孤立子解.这种方法在寻找其他变系数非线性发展方程无穷序列精确解方面具有普遍意义.     

辅助方程法的两大特点及其应用

用吴文俊提出的研究数学史的"新方法论"来研究辅助方程法有关的大量文献,总结了辅助方程法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,发挥这两大特点给出了第一种椭圆辅助方程的新解和Backlund变换,构造了非线性发展方程的无穷序列新精确解.其中包括无穷序列光滑孤立子解、无穷序列尖峰孤立子解和无穷序列紧孤立子解.     

ZSM方程和CDGSK方程的无穷Lie-Bācklund对称序列之间的联系

本文证明,Caudrey-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera方程和Ziber-Shabat-Mikhailov方程的无穷Lie-Bācklund对称序列之列之间存在着一个简单的联系.这一联系是由这样的观察事实所提供的:Ziber-Shabat-Mikhailov 方程和被积修正Caudery-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera 方程的无穷Lie-Bācklund 对称序列是全同的.此外,我们还证明,这一联系是与如下的事实相关的:所有这些方程(包括Cau-drey-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera(cDGSK)方程,修正Caudrey-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera(MCDGSK)方程,被积修正Caudrey-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera(IMCDGSK)方程和Ziber-Shabat-Mikhailov(ZSM)方程)的无穷多守恒律可以变换成同一组具有零Poisson 括号的Virasoro 生成元的多项式函数的无穷集.     

Toda方程的渐近行为

利用Toda方程中的指数势函数的性质,讨论了Toda方程解在无穷远处的渐近行为,证明了Toda方程的任何一个解在无穷远处是渐近线性的.     

Burgers方程的强对称、李代数及其守恒律(英文)

借助于热传导方程的无穷多新的强对称、对称,求出了Burgers方程新的强对称,并由此生成了两组无穷多新的对称.同时证明了两组新对称构成一无穷维李代数.最后利用得到的新对称导出了Burgers方程无穷多新的守恒律,并且推广了相应求解守恒律的公式.     

不定方程x4+3y4=z2的正整数解

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4+12y4=z2无正整数解,方程x4+3y4=z2与x4-12y4=z2均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,同时还编拟了方程正整数解的计算程序,从而完善了Aubry等人的结果.     

无穷维最优控制系统的N阶近似

讨论一类用无穷维系统方程描述的最优控制问题，把它看作为Ｈｉｌｂｅｒｔ空间上求算子方程的最小均方解的问题．在无穷维算子近似理论的基础上，用无穷矩阵奇异值分解方法得到无穷维最优控制问题解的形式，并研究这个解的有限维近似形式，建立一个有限的Ｎ阶最优控制系统，使得它的控制律与无穷维系统的控制之间误差最小     

变系数(2+1)维Broer-Kaup方程的无穷序列新精确解

利用第二种椭圆方程的新解和Bcklund变换,获得了变系数非线性发展方程的无穷序列类孤子新精确解.在此基础上,借助非线性发展方程的一种形式解和符号计算系统Mathematica,以变系数(2+1)维BroerKaup方程为应用实例,构造了该方程的无穷序列类孤子新精确解,这些解包括了无穷序列光滑类孤子解和尖峰类孤立子解.     

(2+1)维Zakharov-Kuznetsov方程的Theta周期波解

给出椭圆方程的一组Theta周期波解,结合它的一个Backlund变换,得到这个椭圆方程的无穷序列Theta函数周期波解,最后利用这个椭圆方程作为辅助方程,借助于计算机符号计算软件Mathematica,得到了(2+1)维Zakharov-Kuznetsov方程的无穷序列Theta函数周期波解.     

耦合Sinh-Gordon方程与Hirota-Satsuma方程无穷多守恒律之间的关联

本文证明,耦合Sinh-Gordon方程与Hirota-Satsuma方程的守恒量的无穷集可以通过一个简单的替换彼此关联起来.此外,我们还证明,这两个守恒量无穷集可以转化为一个用扩展Virasoro代数的生成元表示的经典对易算符的无穷集.     

构造变系数非线性发展方程无穷序列精确解的一种方法

为了获得变系数非线性发展方程的无穷序列精确解,扩展应用Riccati方程法,在符号计算系统Mathematica的帮助下,构造了一种变系数非线性发展方程的无穷序列新精确解.这里包括以双曲函数、三角函数和有理函数构成的类孤子精确解.     

Riccati方程解的非线性叠加公式及其应用

给出Riccati方程解的非线性叠加公式,借助符号计算系统Mathematica,构造了带强迫项变系数组合KdV方程的无穷序列复合型精确解、无穷序列类孤子解和无穷序列三角函数解.     

关于丢番图方程x4±6px2y2±3p2y4=z2

设p为素数,利用Fermat无穷递降法,研究方程x4±3px2y2+3p2y4=z2与x4±6px2y2-3p2y4=z2正整数解的存在性,证明该方程在p≡5(mod 12)时均无正整数解,在p≡11(mod 12)时有解且有无穷多组正整数解,获得方程无穷多组正整数解的通解公式和方程的部分正整数解.     

Kaup-Kupershmidt 方程和 Ziber-Shabat-Mikhailov 方程的无穷多守恒律之间的联系(英文)

本文给出了 Ziber-Shabat-Mikhoilov 方程和 Kaup-Kupershmidt 方程的无穷多守恒量之间的一个简单的关系.我们发现,这个结果是与这样一个事实相关的:与这二个方程相应的二组守恒量可以改写成具有零 Poisson 括号的 Virasoro 生成元的多项式函数的同一组无穷集.     

无穷区间上二阶三点差分方程边值问题正解的存在性

为了将差分方程应用到解无穷区间边值问题,借助于相应线性边值问题Green函数的性质,研究了无穷区间上的二阶三点差分方程边值问题。通过Banach压缩映像原理和LeraySchauder不动点定理获得了该问题正解的存在性和唯一性定理,推广了已有结论。     

一类Schrdinger方程的无穷多非平凡解

讨论一类具有变号位势的Schrdinger方程的无穷多非平凡解的存在性,其非线性项具有超二次的增长条件,建立了此类方程的无穷多解的存在性结果。结果推广了已有的结论。     

关于丢番图方程x4+18px2y2+108p2y4=z2

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4+18px2y2+108p2y4=z2与x4-36px2y2-108p2y4=z2在p≡5(mod6)为素数时均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,同时还编拟了方程正整数解的计算程序,从而完善了Aubry等人的结果.     

无穷区间上二阶三点q-差分方程边值问题解的存在性

为了拓展非线性量子差分方程边值问题的基本理论,研究了一类无穷区间上非线性项含有一阶q-微分的二阶三点非线性q-差分方程边值问题解的存在性。首先,给出并证明了含有无穷限广义积分的二重q-积分的交换积分次序公式;其次,计算出了无穷区间上二阶三点线性q-差分方程边值问题的Green函数,并研究了Green函数的性质;再次,在抽象空间上构造积分算子,然后运用Leray-Schauder连续定理,获得了无穷区间上二阶三点非线性q-差分方程边值问题解的存在性结果;最后给出实例。实例验证表明所得结果是正确的。研究结果对量子微积分的发展及其在数学物理等领域的应用都有着重要的意义。     

方程x4-6px2y2+12p2y4=z2与Aubry猜想

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4-6px2y2 12p2y4=z2与x4 12px2y2-12p2y4=z2在p≡5(mod6)时均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,从而完善了Aubry等人的结果.     

辅助方程法的来源

在"古为今用"原则下,通过研究大量的文献得出辅助方程法的主要来源是双曲正切函数展开法和Riccati方程法,并总结了Riccati方程法的构造性和机械化性两个特点.充分发挥这两个特点获得了Riccati方程的Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了非线性发展方程的无穷序列新精确解.这里包括双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式组合而成的无穷序列复合型精确解.