(∪iCi)∪(∪jDj)图的色唯一性

设G是简单图,用P(G,λ)表示图G的色多项式,若P(G,λ)=P(H,λ),则称G与与H是色等价的,简单的表示为H～G.记[G]={H|H～G}.若[G]={G},称G是色唯一的.本文给出了(∪iCi)∪(∪jDj))-图色唯一的相对于文献[1]、[2]中的结论更为一般的结论.     

（UiCi）U（UjDj）图的色唯一性

设G是简单图，用P（G，λ）表示图G的色多项式，若P（G，λ）=P（H，λ），则称G与H是色等价的，简单的表示为H-G．记[G]={H／H-G}．若[G]={G}，称G是色唯一的．本文给出了（UiCi）U（UjDj）图色唯一的相对于文献[1]、[2]中的结论更为一般的结论．     

完全四部图的色性

设G是一个图，P(G，λ)是G的色多项式．若P(G，λ)=P(H，λ)，则称G和H是色等价的，简单地用G～H表示．令[G]={H\H～G)．若[G]={G)，称G是色唯一的．用G=K(n1，n2，n3，n4)表示完全四部图且2≤n1≤n2≤n3≤n4，得到了[G]С{K(x，y，z，w)-S｜z y w =n1 n2 n3 n4,1≤z≤y≤z≤w≤n4-1，或1≤x≤y≤z≤n3-1和w=n4U{G}，其中S是K(x，y，z，w)的某s条边组成的集合且K(x，y，z，w)-s表示从K(x，y，z，w)中删去S中所有边得到的图．从而证明了当n≥k 2，t≥2时，K(n-k，n，n，n)是色唯一的．     

具有较大四独立集的色唯一的三部图

设G是简单图,■表示图G的补图,用P(G,λ)表示图G的色多项式.若P(G,λ)=P(H,λ),则称G与H是色等价的,简记为H～G.令[G]={H|H～G}.若[G]={G},称G是色唯一的.设K_(n,n,n)是一个完全三部图且各部分顶点数均为n.图G=K_(n,n,n)-S表示从完全三部图K_(n,n,n)中删去边集S所得的图.本文证明了一些具有较大四独立集的三部图是色唯一的.     

完全三部图K(2,4,6)的色唯一性

设G是简单图,用P（G,λ）表示图G的色多项式．若对任意图H使P（H,λ）＝P（G,λ）,都有H与G同构,则称G是色唯一图．作者证明了：完全三部囹K（2,4,6）是色唯一图．从而解决了文[1]中的一个遗留问题．     

具有5n+4个点的5部图的色性

设G是简单图，用P(G，λ)表示图G的色多项式，若P(G，λ)=P(H，λ)，则称G与H是色等价．令H～G，令{G}={H|H～G)，若对任意的图G有{G}={G}，称G是色唯一的．设G表示具有5n 4个点的完全5部图，令θ(G)=(m5(G)-2^n 2-2^n-1 5)／2^n-1，其中m5(G)表示G的6-独立分划个数．本文证明了θ(G)≥0且刻划θ(G)=0，1，3／2，2，5／2，13／4的图．利用此结果研究了图G—S的色性，其中S是图G某些边组成的集合，G—S表示从G中删去S中所有的边得到的图，进而得到许多色唯一的5部图．     

完全三部图K(n-k,n-v,n)的色唯一性

设P(G,λ)是图G的色多项式,如果任意与图G的色多项式相等(P(G,λ)=P(H,λ))的图H都与图G同构(GH),则称图G是色唯一图.文献[Lau G C,Peng Y H.Chromatic uniqueness ofcertain complete tripartite graphs.Acta Mathematica Sinica,English Series,2011,27(5):919-926]中提出一个猜想(若k≥v≥2,n≥k2/4+v+1,则完全三部图K(n-k,n-v,n)是色唯一的),并证明了若2≤v≤4,k≥v≥2,n≥k2/4+v+1,则K(n-k,n-v,n)是色唯一的.通过比较三角形子图和无弦四边形子图的个数,证明了若v≥4,k≥2v2+4,n≥(k+2)2/8+3,则K(n-k,n-v,n)是色唯一图。     

完全三部图K（m,n,r）的色唯一性的进一步结果

设G是简单图,用P（G,λ）表示图G的色多项式,若对任意简单图H使P（H,λ）,都有H与G 同构,则称G是色唯一图,令K（m,n,r)表示完全三部图。     

完全三部图K(n-4,n,n)的色唯一性

设G是简单图,用P（G,λ）表示图G的色多项式．若对任意图H使P（H,λ）＝P（G,λ）,都有H与G同构,则称G是色唯一图．用K（m,n,r）表示完全三部图,证明了当K＝4时,如下猜想[1]成立：对非负整数n,k,当n≥k＋2时,K（n－k,n,n）是色唯一图．即当n≥6时,K（n－4,n,n）是色唯一图．     

图U_n∪K_4~-的色等价刻画

h(G,x)表示图G的伴随多项式,它从图G的补图出发研究色惟一和色等价.若P(G,λ)=P(H,λ),称G和H色等价.一个图被称为是色惟一的,如P(G,λ)=P(H,λ)意味着GH.若h(G,x)=h(H,x),称G和H伴随等价;G和H色等价当且仅当G和H伴随等价;G色惟一当且仅当G伴随惟一.Un表示从路Pn-4的每个1度点分别引出两个悬挂边所得到的具有两个3度点4个1度点的树.K-4表示从K4中删去一条边得到的图.应用伴随多项式理论研究了图Un∪K-4的伴随多项式系数和根的性质,以此为基础刻画了图Un∪K-4的色等价图类.     

二部图K（m,m＋4）—A（A=2）的色唯一性

设P（G,λ）表示简单图G的色多项式,若对任意简单图H使P（H,λ）=P(G,λ）,都有H与G的同构,则称G是色唯一图,令K（m,n)－A表示从完全二部图K（m,n)中删去边子集A所得的二部图,证明：当m≥3,K（m,m 4)-A,A=2,是色唯一图。     

一类完全三部图K(m,n,r)的色唯一性的判定

设G是简单图,用P(G,λ)表示图G的色多项式,若对任意简单图H使P(H,λ)=P(G,λ),都有H与G同构,则称G是色唯一图。令K(m,n,r)表示完全三部图,证明了(1)设m≤n≤r,0≤r-m≤4,若m≥2,则除去K(2,2,6)、K(2,3,6)、K(3,3,7)、K(3,4,7)外,K(m,n,r)是色唯一图。(2)若n≥4,0≤k≤2,则K(n-k,n,n k)是色唯一图。     

二部图 K(m,n)-A(|A|≥2)的色唯一性

设G是简单图，用P（G,λ）表示图G的色多项式，若对任意简单图H使P（H，λ）＝P（G，λ），都有H与G同构，则称G是色唯一图，用K（m,n）－A表示从K（m,n）中删去边子集A所得的二部图，令L2^-s(m,n）＝｛K(m,n)-A||A|=s｝，研究一般形式的K（m,n）－A的色唯一性问题，通过引进色正规图类的概念，使用比较两个色等价图的色划分数的方法，得出G∈L2^-s(m,n）的色等价图仍然是属于L2^-s(m,n）的一般形式数值条件，进一步得出G∈L2^-s(m,n)(2≤s≤4)为色唯一图的一般形式数值条件，所得结果完全覆盖并推广了1997年以前该研究方向的相关结果。     

图UnUK4-的色等价刻画

h（G，x）表示图G的伴随多项式，它从图G的补图出发研究色惟一和色等价．若P（G，λ）：P（H，λ），称G和H色等价，一个图被称为是色惟一的，如P（G，λ）=P（H，λ）意味着G≈H．若h（G，x）：h（H，x），称G和H伴随等价；G和H色等价当且仅当G^-和H^-伴随等价；G色惟一当且仅当G^-伴随惟一．Un表示从路Pn-4的每个1度点分别引出两个悬挂边所得到的具有两个3度点4个1度点的树．K4^-表示从K4中删去一条边得到的图．应用伴随多项式理论研究了图（UnUK4^-）^-的伴随多项式系数和根的性质，以此为基础刻画了图（UnUK4^-）^-的色等价图类。     

一类图的色等价图类

设G是一个图,P（G,λ）是G的色多项式,用[G]p表示以P（G,λ）为其色多项式的所有图的集合,称为图G的色等价类.刻画了[I^cm]p,其中Im（m≥6）表示路Pm-4的两个端点分别粘接一个^＋P3的2度点后得到的图.G^c表示G的补图.     

一些圈加边图的着色

设P(G;λ)表示图G的色多项式,若P(H;λ)=P(G;λ),称H和G色等价.设ξ是图组成的集合,若对任意图H,当H和ξ中的某一图色等价时,都有H ∈ξ,称ξ是完全色等价类.本文给出了由部分广义多边形树Gsl(a,b;c,d)(s+t=2)组成的一个完全色等价类.     

完全t部图K（n-k,n,…,n）的色唯一性

设P(G,λ)是图G的色多项式.如果对任意使P(G,λ)=P(H,λ)的图H都与G同构,则称图G是色唯一图.通过比较图的特征子图的个数,讨论了由文献[Koh K M, Teo K L. The search for chromatically unique graphs. Graphs and Combinatorics, 1999,6: 259-285]中提出的猜想(若n≥k 2,则完全三部图K(n-k,n,n)是色唯一图);推广了文献[Liu Ru-yin, Zhao Hai-xing, Ye Cheng-fu. A complete solution to a conjecture on chromatic unique of complete tripartite graphs. Discrete Mathematics, 2004, 289: 175-179]中的结果(若n≥k 2≥4,则K(n-k,n,n)是色唯一图;若n≥2k≥4,则K(n-k,n-1,n)是色唯一图);证明了若n≥k 2≥4,则K(n-k,n,...,n)是色唯一图,若n≥k 2≥4,则K(n-k,n-1,n,...,n)是色唯一图.     

完全三部图色唯一性数值条件的改进

设P(G,λ)是图G的色多项式,如果任意与图G的色多项式相等(P(G,λ)=P(H,λ))的图H都与图G同构(G■H),则称图G是色唯一图.这里通过比较图的三角形子图和无弦四边形子图的个数,讨论了完全三部图K(n-k,n-v,n)的色唯一性.证明了若n≥v~2(k-v/3)/4+v,k≥v≥2,则完全三部图K(n-k,n-v,n)是色唯一图;若n≥k+2,k≥2,则完全三部图K(n-k,n-2,n)是色唯一图.     

完全3部图K(n-k,n-3,n)色唯一性的证明（英文）

设P(G,λ)是图G的色多项式,如果任意与图G的色多项式相等(P(G,λ)=P(H,λ))的图H都与图G同构(G≌H),则称图G是色唯一图.这里,通过比较图的三角形子图和无弦四边形的个数,完全解决了一类完全三部图K(n-k,n-3,n)的色唯一性问题,证明了,若n≥k+2≥5,则完全三部图K(n-k,n-3,n)是色唯一图.     

两类图及补图的匹配惟一性

设G是简单图,用μ(G,x)表示图G的匹配多项式,若μ(G,x)=μ(H,x),则称G与H是匹配等价的,记为H~G.若H~G可导出H G,则称图G是匹配惟一的.在此基础上研究了T形树的匹配惟一性,证明了T(m,m 1,m 2),T(m,m 1,m 3)(m≥1)及补图是匹配惟一的.