PGL(2,q)与区传递4-(q+1,7,λ)设计

研究了区组设计4-(q+1,7,λ)以一般射影线性群PGL(2,q)为区传递自同构群的存在性条件,以及由自同构群PGL(2,q)构造区传递4-(q+1,7,λ)设计的计算机算法,并由此构造出了给定参数的以一般射影线性群PGL(2,q)为区传递自同构群的4- (q+1,7,λ)设计.     

环F2+uF2上1-Lee重量码和2-Lee重量射影码

研究了环F₂+uF₂上1-Lee重量码与2-Lee重量射影码的结构性质,分别给出了一种构造环F2+uF2上1-Lee重量码和2-Lee重量射影码的方法.通过F2+uF2到F2上的Gray映射,得到了两类参数分别为［2m+1－2,m,2m］与［2m－1,m,2m－2］的二元最优线性码（m为正整数),后者等价于二元一阶Reed Muller码RM(1,m-1).
     

参数为[p^k,p^（k-1）,p]和参数为[2p^k,p^（k-1）（p-1）,d≤p]的循环码

码的长度、维数以及码的极小距离是线性码的最主要的参数,其中,码的维数确定了码的大小,极小距离确定了码的纠错能力.在文献中已有关于二次剩余码和k次剩余码的一些结果.通过分析剩余码的特点,分别利用模pk及模2pk上原根的性质,构造了两类循环码,当p为奇素数,q为素数时,得到了一类参数为[p^k,p^k-1,p]的循环码,当p,q均为奇素数时,得到了一类参数为[2p^k,p^k-1（p-1）,d≤p]的循环码,其中（p,q）=1.     

有限域上两类线性码的构造

利用定义集的方法构造了两类p元线性码,研究了它们的参数和重量分布.第一类线性码为三重极小码,可用于构造具有安全高效访问结构上的密钥共享方案.第二类线性码为二重线性码,且当p=3时为自正交射影码,可用于构造量子码和强正则图.     

Ramsey数r（3,q）的下界公式

本文证明了两类特殊的循环图是(3,q)-图,从而得到:当q≥4时,r(3,q)≥5*q-13;当q≥7且为奇数时,r(3*q)≥7·q-33.     

基于经典线性码构造的纠缠辅助量子码

首先， 利用有限域F_q上参数为［n,k,d］经典线性码C的线性互补对偶(LCD)线性子码的一个正交基, 构造一类参数为［［n+l,k-h,d′;n-k -h+l］］的纠缠辅助量子码, 其中h=dim(Hull_E(C)), 0≤l≤k-h, d≤d′≤d+l. 特别地, 当经典线性码C为Euclide对偶包含线性码时, 存在一个参数为［［n+l,2k-n,d′;l］］的纠缠辅助量子码, 其中0≤l≤2k-n, d≤d′≤d+l. 其次, 通过对有限域F_q上参数为［n,k,d］的Euclide对偶包含线性码C的校验矩阵H作一类变换, 构造另一类参数为［［n+l,2k-n+l,d′;2l］］的纠缠辅助量子码, 其中0≤l≤n-k, d≤d′≤d+l.     

环F_q+vF_q+…+v~(m-1)F_q上的循环码构造量子码

通过环R=F_q+v F_q+…+v~(m-1)F_q上的循环码研究F_q上的量子码,其中vm=v,q=ps,(m-1)(p-1),p是素数.给出了R上循环码的结构并获得了R上循环码的Gray像是F_q上的自正交码.特别地,将R上循环码分解为F_q上m个循环码,结合CSS构造法构造了量子纠错码,并举例加以说明.     

环F_q+uF_q上循环码构造的量子码（英文）

给出了利用环Fq+uFq上循环码构造的量子码的一种方法,其中q是素数幂次方,u2=0.先由环Fq+uFq上循环码的像得到了Fq辛自正交的码,再用这些自正交码构造量子码,并给出了一些包括量子MDS码的例子.     

GL(n,Fp)的指数公式

本文给出了有限域F_p上n阶一般线性群的指数公式为x=d(n)·[q-1,q~2-1,…,q~n-1]其中d(n)=min{P~u|P~u≥n},[q-1,q~2-1,…,q~n-1]为整数q-1,q~2-1,…,q~n-1的最小公倍数,这里q=|F_p|=P~r,p=CharF.F_p为特征数为P之有限域,|F_p|=p~r=q,G=GL(n,F_p)为F_p上n阶一般线性群,|GL(n,F_p)|=multiply from i=0 to n-1(q~n-q~i)对任意A∈GL(n,F_p), 使A~m=E之最小正整数m称为G上指数,本文对任意给定的n及F_p,给出了以n,q表示的G的指数公式.     

环 Fq+uFq+vFq 上(1-2u-2v)-常循环码和量子码的构造

文章研究了有限非链环F_q+uF_q+vF_q上(1-2u-2v)-常循环码的性质,其中u~2=u,v~2=v,uv=vu=0且q是一个素数的幂。给出了环F_q+uF_q+vF_q上(1-2u-2v)-常循环码自正交的充要条件,并构造了保正交性的Gray映射;最后基于这类常循环码和CSS构造,得到了一些参数更好的量子码。     

环F_2+uF_2+u~2F_2上的常循环码和循环码的Gray象

通过构造Gray映射Φ,研究了环R=F2+uF2+u2F2上的常循环码和循环码.给出了环R上码是常循环码的一个充分必要条件,证明了环R上长为n的码C是循环码当且仅当Φ(C)是域F2上指标为4长为4n的准循环码.特别的,环R上长为n的线性循环码的Gray像是F2上指标为4长为4n的线性准循环码.     

F_q+vF_q+v~2F_q上的斜常循环码

考虑一类环R=F_q+vF_q+v~2F_q(其中:q=p~m,p是素数;v~3=v)上的斜常循环码.根据环的结构得到了R上斜常循环码的生成多项式是x~n-λ的右因子(λ是一个单位),且斜常循环码是由主理想生成的;当λ~2=1时,给出线性码的对偶码是斜常循环码的充要条件,并讨论对偶码的生成多项式形式.     

基于广义Reed-Solomon码构造的两类量子MDS码

量子信息领域的一个重要热点是构造具有良好参数的量子极大距离可分码.最小距离是其中最重要的一个参数,并且最小距离越大越好,在量子纠错领域一个备受关注的话题是构造最小距离比q/2+1更大的量子极大距离可分码.构造了向量a和向量v,使得由向量a和向量v定义的广义Reed-Solomon码满足Hermite自正交性质.进一步,利用Hermite构造法证明了两类量子极大距离可分码存在.构造的大多数量子极大距离可分码的最小距离比q/2+1大.     

关于高斯函数的几个恒等式

对高斯函数的两个恒等式:[x]+[x+(1/m)]+…+[x+((m-1)/m)]=[mx],其中x∈R,m∈N;[kq/p]+[kp/q]=((p-1)/2)·((q-1)/2),其中 p、q 是正奇数且(p,q)=1,以及 Tom.M.Apostol 的一个问题“若 a=1,2,3,4,5,6,7.证明存在一个(依赖于 a 的)整数 b,使得[k/8]=[(2n+b)~2/8a]”,作了进一步的推广,得到一般性的结论.     

用四元循环码构造的线性量子码

用模奇数n的4-分圆陪集和生成多项式刻划四元循环码,得到一般四元循环码的对偶码为自正交码的充要性判别准则,将前人关于自正交四元单根循环码和四元BCH码的对偶码为自正交判别准则推广到任意四元循环码,包括四元单根循环码和重根循环码.利用单根循环码与重根循环码关系,确定出所有能由短码长的四元循环码构造的线性量子码。     

环Z2+uZ2+u2Z2上的斜循环码

文章研究的是环R=Z2 +uZ2 +u2Z2上一类广义的循环码——斜循环码;首先利用环R构造了一个非交换的多项式环R[x,θ],然后讨论了R上斜循环码与Rn=R[X,θ]/(Xn-1)左理想的关系,给出了斜循环码的生成多项式,以及环R上斜循环码是可逆码的充要条件,并考虑了斜循环码的对偶码.     

负循环码在Zpk+1环上的推广

文章引入了Zpk+1码和Zp2码之间的等距同构ψk(k≥1);利用ψk把Gray映射φZn4→F2n2推广为声Znpk+1→Zpkpn(p为素数);而且利用ψk,负循环码概念被推广到Zpk+1码,得到了(1-pk)-循环码;依据等距同构 k,给出了这些码的表示;也证明了(1-pk)-循环码在推广的Gray映射下的像是距离不变(不一定是线性的)的准循环码.     

点数为素数方幂的线传递点拟本原的有限线性空间

设F为一个有限线性空间,G≤Aut（F）为F的线传递且点拟本原的自同构群,若v=p^n,p为素数,则下列之一成立（a)S=PG(d-1,q),d≥3且(q^d-1)/(q-1)=p^n,PSL（d,q)≤G≤PFL(d,q)。（b)v=q^2 q 1是一个素数且G是一个q^2 q 1阶循环群或是一个阶为（q^2 q 1)（q 1)或（q^2 q 1)q的Frobenius群。(c)线性空间的点集合是p元域上的n维向量空间V(n,p)的所有向量组成的集合,N≤G≤AGL(n,p)且G0是GL（n,p)的一个不可约的子群,这里N表示平移子群。     

关于q元[n，2]线性码的广义汉明重量谱

广义汉明重量是线性码的最小距离的自然推广。它在McEliece公开密钥体制中有应用．文献[1]给出了二元[n,2]线性码的广义汉明重量谱的计数方法,但该计数公式只适于d2≥2d1时的特殊情形．本文深人分析了q元线性码的生成特征,不仅得到了q元[n,2]线性码的广义汉明重量谱的完备计数公式,而且得到了q=2时的计数公式．因此,本文进一步补充和推广了文献[1]中的结论,该结论对线性码的广义汉明重量的理论研究和实际计算是有重要意义．     

基于伪辛空间的LDPC码的构造

基于有限域Fq 上的（2v+2）维伪辛空间,根据子空间的包含关系,选取(m,0,0,1) 型全迷向子空间,构造出了点集和线集并定义了点、线之间的关联关系,根据图论知识构造出所对应的二分图的关联矩阵,得到LDPC码的校验矩阵, 最终构造出LDPC 码C (ν + 1,2ν + 2,q ), 求得围长为8, 最小距离为2q + 2. 对码C (ν + 1,2ν + 2,q ) 取固定参数,利用子空间的包含关系,得到LDPC 码C (3,6,2) 的校验矩阵,求得码率,并对码进行了译码仿真,发现码C (3,6,2) 比相同参数的随机码的码率高.