应用支持向量机回归求解不规则边界边值问题

本文给出了应用支持向量机回归和径向基函数网络求解不规则边界边值问题的算法.两种方法协同使用不包含可调参数的支持向量机回归作为基本的逼近元,它部分影响边界条件;径向基函数网络用来精确的满足边界条件.我们用这种方法求解了一个二维的偏微分方程边值问题并且得到了较好的逼近解.     

Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn方程的显示精确解

研究在充分低的噪声水平下二维Toom模型中刻画沿着固定界面波动统计性质的一个新奇的三阶非线性偏微分方程,Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn方程.首先,获得这个非线性偏微分方程的一个非线性变换,这个非线性变换可以将该方程约化为对应的线性偏微分方程.接着,利用分离变量方法获得了该约化线性偏微分方程的许多显式精确解.最后,借助于这个非线性变换得到原来非线性偏微分方程的丰富的显式精确解.     

一类Burgers方程的精确解

微分方程包含线性和非线性微分方程。微分方程研究的主体是非线性微分方程,特别是非线性偏微分方程。很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。另外,随着研究的深入,有些原来可用线性偏微分方程近似处理的问题,也必须考虑非线性的影响。从传统的观点来看,求偏微分方程的精确解是十分困难的。经过几十年的研究和探索,人们已经找到了一些构造精确解的方法。借助于Cole-Hope变换,积分变换法和拟解的方法,获得Burgers方程,(2+1)维Burgers方程,(2+1)维高阶Burgers方程的新的精确解。这种方法可以解决一系列的偏微分方程。     

平面双连通域稳态温度场的解析解

目前对于平面双连通域稳态温度场的问题,解析解法主要有分离变量法、虚拟热源法、积分变换法和格林函数法等.这些方法仅适用于几何形状简单边界条件不复杂的情况.本研究采用复变函数方法,利用映射函数将物理平面上任意形状的双连通域映射为像平面上的轴对称圆环,然后将偏微分方程转化为常微分方程,利用传热学中第1类边界条件,在像平面内可以求出轴对称圆环的稳态温度场.然后再通过映射函数将结果返回物理平面,便得到物理平面上任意形状双连通域的稳态温度场.对于已知映射函数的偏心圆环和含一圆孔的半无限域的双连通域两个问题,通过本研究提出的方法给出了温度场的解析解.而对于一般的双连通域问题,本研究通过最优化技术给出了映射函数的求解方法,获得了复杂双连通域稳态温度场的解析解.     

一类非线性偏微分方程的n-孤子解

微分方程包含线性和非线性微分方程。微分方程研究的主体是非线性微分方程,特别是非线性偏微分方程。很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。另外,随着研究的深入,有些原来可用线性偏微分方程近似处理的问题,也必须考虑非线性的影响。从传统的观点来看,求偏微分方程的解是十分困难的。经过几十年的研究和探索,人们已经找到了一些构造解的方法。借助Cole-Hope变换,A=0且B=0为Af+B=0的解,获得了(2+1)维Burgers方程和Kdv方程的n-孤子解。这种方法可以求解一系列的偏微分方程。     

小波分析理论下无网格偏微分方程数值解方法

针对传统偏微分方程数值解方法求解精度和效率不高的问题,在小波分析理论下,提出无网格偏微分方程数值解方法。首先利用拟Shannon小波配点法,获取常微分方程组,然后利用插值问题替代离散偏微分方程,逼近该偏微分方程组精确解。在此基础上,通过基函数空间求解偏微分方程的方法定义为无网格偏微分方程数值解方法,考虑加权的最小二乘法可确定较为集中的点,致使偏微分方程与边界条件在确定较为集中的点上成立。以较典型的Convection Diffusion方程为例,在不同参数值设置条件下进行两次算例验证,实验结果表明,该所得的逼近解均较为接近精确解,可提升偏微分方程数值求解精度。     

(3+1)维非线性方程新的精确解

研究了 (3+1)维非线性方程新的精确解 .根据Painlev啨奇异分析或齐次平衡方法可得到一个非线性变换 ,能使复杂的 (3+1)维非线性方程转化为简单的线性偏微分方程和双线性偏微分方程 ,然后通过设定形式解 ,从而得到 (3+1)维非线性方程新的精确解     

(3+1)维可积模型的孤子解

为了得到(3 1)维可积模型的精确解，建立了(3 1)维非线性偏微分方程与一维的立方非线性Klein-Gordon(NKG)方程的解之间的变换关系；利用这个简单的变换公式和非线性KG方程的解，得到了(3 1)维可积模型的孤子解，这种方法可广泛用于求解其他一些非线性偏微分方程的孤子解。     

非可积(3+1)维KdV型方程的一类多孤子解

根据 Painlevé奇异分析或直接双线性方法或齐次平衡方法可得到一个非线性变换 ,能使复杂的 ( 3+ 1 )维 Kd V型方程转化为简单的线性偏微分方程和双线性偏微分方程 .然后从这些简单的线性偏微分方程和双线性偏微分方程出发 ,通过设定形式解构造出 ( 3+ 1 )维 Kd V型方程的一类多孤子解 .由于某些参量选择的任意性 ,使得 ( 3+ 1 )维 Kd V型方程的孤子解具有丰富的形式结构     

非可积（3＋1）维KdV型方程的一类多孤子解

根据Painleve奇异分析或直接双线性方法或齐交平衡方法可得到一个非线性变换，能使复杂的（3＋1）维KdV型方程转化为简单的线性偏微分方程和双线性偏微分方程，然后从这些简单的线性偏微分方程和双线性偏微分方程出发，通过设定形式解构造出（3＋1）维KdV型方程的一类多孤子解。由于某些行参量选择的任意性，使得（3＋1）维KdV型方程的孤子解具有丰富的形式结构。     

型腔高速螺旋刀路轨迹规划算法

针对现有型腔铣加工刀路规划方法难以满足高速切削的问题,提出了一种基于椭圆形偏微分方程的刀路规划算法.首先,由二维稳态下的温度平衡方程导出偏微分方程,将型腔边界偏置一个刀具半径,作为偏微分方程的边界,并将边界条件赋为0,以此建立刀路规划模型.然后,对边界内部的区域进行均匀离散,利用Delaunay算法构建三角网格单元,利用有限元法求解椭圆形偏微分方程,由偏微分方程的解构建等距线.最后,由等距线生成螺旋铣刀路,并对螺旋刀路进行了加工验证.实验结果表明,采用所提出的方法获得的螺旋铣刀路明显改善了机床的运动性能,提高了加工效率.     

一维和二维KdV方程的有理函数解

求解非线性偏微分方程的方法很多，不同的方法用于不同的方程其有效性也各不相同，齐次平衡法是把非线性偏微分方程转换成约束条件的线性偏微分方程的一种很好的方法，利用齐次平衡法具体讨论了KdV方程和二维KdV方程更具一般形式的有理函数解。     

(3+1)维非线性方程的多孤子解

研究了（3 1）维非线性方程的多孤子解。根据Painleve奇异分析或齐次平衡法可得到一个非线性变换，能使复杂的（3 1)维非线性方程转化为简单的线性偏微分方程和双线性偏微分方程，然后通过设定拟解，便构造出（3 1)维非线性方程的多孤子解。     

二维斜反射倒向随机微分方程与反射非线性抛物型偏微分方程组(英文)

给出了二维斜反射倒向随机微分方程解的新构造方法.在这个新的斜反射倒向随机微分方程表达形式基础上,进一步用反射倒向随机微分方程的解给出了相应的反射非线性抛物型偏微分方程组解的概率表示.     

变分方法在求解渗流力学问题中的几个应用

(一) 渗流力学问题在以往较长的时期内通常都是化为某一类偏微分方程,并在一定的边界条件和初始条件下求其分析解或数值解。这些问题的解的取得通常都是从微分方程出发,以这种或另一种方法对方程进行积分,然后代入边界条件而取得的。近年来,开始出现一些积分方法,如Galerkin方法等,不经过微分方程的方法,同时也出现了运用变分方法求解渗流问题的一些研究成果。这些方法的出发点是把渗流问题的微分方程及其边界条件看作是某一泛函在其极值条件下应满足的基本公式。这样,求解渗流微分方程就变为求解泛函极值的问题,而满足此极值条件的未知函数必将是原来的渗流方程的解。因此,当我们要     

交替方向隐式差分法在分数次微分方程中的应用

用交替方向隐式欧拉方法研究二维带有弱奇异核的偏积分微分方程的数值解,在空间方向上采用二阶差商,时间方向上使用向后欧拉方法,积分项用一阶卷积求积逼近.该方法具备了交替方向存储量少,计算量低的特点.     

交替方向隐式欧拉方法在偏积分微分方程中的应用

用交替方向隐式欧拉方法研究二维带有弱奇异核的偏积分微分方程的数值解,在空间方向上采用二阶差商,时间方向上使用向后欧拉方法,积分项用一阶卷积求积逼近,该方法具备了交替方向存储量少,计算量低的特点.     

一类非线性偏微分方程的显式精确解

对谢元喜等(物理学报,2004,53(9):2828-2830.)所提出的方法进行了一些扩展,从而获得了一类非线性偏微分方程的大量显式精确解,包括孤波解、奇异行波解和三角函数型周期波解等,这种方法也可用于求解其它非线性偏微分方程.     

Chebyshev谱元法求解含吸收边界的二维均匀稳定流场的声传播

从群速度的角度推导了包含均匀稳定来流的二维波动方程的1阶吸收边界条件,基于Che-byshev谱元法提出了二维均匀稳定来流波动方程的求解方法.在空间上采用谱元方法,在时间上采用隐式Newmark积分法,从而获得了波动方程的离散形式.经具体算例验证表明:与1阶Clay-ton-Engquist-Majda吸收边界条件相比,所推导的吸收边界条件能更有效地削弱边界上的数值反射,避免解的失真,求解方法在空间上具有谱精度,在时间上达到了2阶精度.     

一类热传导反问题中边界温度场的重建算法

给出了一类二维热传导方程反问题中边界温度场的重建算法。首先将反问题归结为一泛函极小化问题;然后通过对未知边界的有限维逼近,将反问题分解成一系适定的热传导方程正问题;最后根据偏微分方程线性问题的叠加原理,将泛函极小化问题离散为线性代数方程组,再应用Tikhonov正则化方法求解线性代数方程组,从而获得边界温度场的数值解。数值算例表明了本文的算法是有效的,且具有较强的稳定性。