组合型插值多项式的收敛阶

在引进了几个已知算子的基础上,为改进这些算子的收敛阶,以xk^(n)=(2k 1)/2n π,k=0,1,2,…,2n作为插值节点,构造了一个组合型的算子Gn(f;x),使算子Gn(f;x)一致收敛到以2π为周期的连续函数f(x),并且其收敛阶要优于已知的算子．     

关于一些Hermite-Fejer算子逼近度的注记

本文研究以Jacobi多项式的J_n(x)=sin(2n+1)/2θ/sinθ/2(x=cosθ,0≤θ≤π)的零点为基点的Hermite-Fejer插值过程H_(2n-1)(f,x).对于Lipα(0<α<1)类中函数,改进了[1]的结果:得到了H_(2n-1)(f,x)逼近有界变差函数的阶估计. 设函数f(x)∈C〔-1,1〕,x=cosθ(0≤θ≤π),J_n(x)是n阶Jacobi多项式,x_k=x_k~(n)=cosθk=cos(2kπ)/(2n+1)(k=1,2,…,n)是J_n(x)的零点,以{x_1,x_2,…,x_n}为基点的Hermite-Fejer插值算子是(见文〔1〕(4))     

三角插值多项式的线性组合

鉴于Lagrange插值多项式并非对任何连续函数都能一致收敛,以x(n)k=2k 1/2n 1π,k=0,l,…,2H作为插值节点,将几个算子进行线性组合,构造了两个新的算子Un(f;x)和Un(f;x),使它们的最高收敛阶要优于算子An(f;x),Bn(f;x),Cn(f;x)。     

一类组合型三角插值多项式

构造了一个以{θ_k=kπ/(n+1)}n_k=1 为插值结点的f(θ)∈C₂π且为奇函数的组合型三角插值多项式算子S_n(f;r, θ)（r为自然数）. S_n(f;r,θ)对每个以2π为周期的奇连续函数都能在全实轴上一 致收敛到f(θ); 并且若f(θ)∈Cj₂π(0≤j≤r-1)是奇的, 则S_n(f;r, θ)对其收敛阶均达到最佳收敛阶.     

具有第二类Chebyshev零点的Hermite-Fejér插值算子的渐近估计式

设Rn[f;x]和Hn[f;x]分别为以第二类Chebyshev多项式Un(x)的零点b_k=cos(kπ/(n U),k=1,2,…,n作为结点的Hermite-Fejr插值算子和拟Hermite-Fejr插值多项式,我们得到两个定理。     

修正的偶三角插值多项式

目的 构造出一个以{θk=knπ}nk=0为插值节点的修正的三角插值多项式 Wn(f:r,θ)(r∈N,f(θ)∈C2π且为偶函数).方法 伯恩斯坦的第三方法.结果 证明了Wn(f:r,θ)对每个以2π为周期的偶函数都能在全实轴上一致收敛到f(θ), 并且若偶函数f(θ)∈Cj2π,0≤j≤r-1,Wn(f:r,θ), 对其收敛阶均达到最佳收敛阶.结论 通过伯恩斯坦的第三方法,算子Wn(f:r,θ)能够克服Lagrange插值多项式算子的缺点,在全实轴上一致收敛到f(θ).     

奇数个结点上反周期函数的2-周期(0,P(1/2h δ))三角插值收敛性

研究了奇数个等距结点上以π为周期的反周期函数的2-周期三角插值(0,P(1/2h δ))问题,给出它在ω⊥4n+1 中有惟一解的充要条件和这种插值函数的明显式,同时讨论了该问题在特殊情况下的插值算子的收敛性.     

БЕРНШТЕИН第一求和算子的逼近阶的估计

对于БЕРНшТЕИН[1]提出的逼近连续周期函数的求和算子Un(f;x)=1/(2n+1) sum from k=0 to 2n f(x_k)〔sin2/2(x-x_k)/sin(x-x_k)/2 〕~2,HATAHCOH[2]证明了它的收敛性.至于误差估计,本文得到:1)若f∈C2π,则|Un(f;x)-f(x)|≤(5+3/2π)ω(f,lnn/n)(n≥3),2)若f∈C2π且f∈Lipiα(0<π<1),则|Un(f;x)-f(x)|≤〔7/4+3/(1-α)〕(2π/2n+1)~α,3)若f∈C2π且f∈Lipil,|Un(f;x)-f(x)|≤15·ln(2n+1)/2n+1。     

关于二元函数的三角插值逼近

目的为克服Lagrange插值多项式不能对任意连续函数都一致收敛的问题,构造了一类二元乘积型三角插值多项式算子使得该算子在全平面上能够一致收敛到每个以2π为周期的二元连续函数。方法通过对Lagrange插值三角多项式的平移与组合,在已有成果的基础上做了推广,构造了一类形式较为广泛的二元乘积型三角插值多项式Tmn（f;x,y）=∑k=0^2m∑l=0^2nf（xk,yl）mα^k（x）mβ^l（x）,进而讨论了该算子的逼近性质。结果／结论证明了该算子在全平面上一致收敛到任意以2π为周期的二元连续函数,并且对C2π,2π^s,r（s≤α,r≤β）函数类的逼近均达到最佳收敛阶,即,当f（x,y）∈C2π,2π^s,r,s≤α,r≤β,成立｜Tmn（f;x,y）-f（x,y）｜=O{Emn^＊（f）＋1/m^sω（ ^sf/ x^s;1/m,0）＋1/n^rω（ ^rf/ y^r;0,1/n）＋1/m^s1/n^rω（ ^s＋rf/ x^s y^r;1/m,1/n）}。     

R上由指数型整函数的Hermite型插值的收敛性

证明了如果f∈L1p(R),f'(χ)=O(1/(1 |x|1/p δ),δ＞0,且f'在R的任何有限区间上Riemann可积,则limσ→∞||f-Hσ(f)||p(R)=0,其中Hα(f)是f通过由其样本{f(kπ/σ)}k z和{f'(kπ/σ)}k z在Lp(R)中的指数2α型整函数空间B2σ,p中的Hermite型的插值算子.     

Euler矩阵及其性质

利用Bernoulli数可以得到著名的Euler公式ξ(2k)=∑∞n=11/n2k(-1)k+1(2π)2kB[1,2]2k/2(2k)!.事实上,我们可以利用本文中的Euler矩阵得到两个有趣的公式,即ξ(2k)=detEkπ2k及B2k=(-1)k+1(2k)!det(Ek).这样就避免了众多Bernolulli数的使用和记忆,其中Ek称为Euler矩阵,它是一个特殊的Hessenberg矩阵.进一步地,我们讨论了Euler矩阵的性质,证明了它是本原矩阵,并猜想它是完全非负矩阵和振荡矩阵.     

H_+~p中不完备的插值系{Ω_(k,n)(Z)}_1~∞

本文构造并研究插值系{Ω_(k,n)(Z)}_1~∞及空间R_+~P{Ω_(k,n)}。在某些条件下,函数系{Ω_(k.n)(Z)}_1~∞((n+1)~(-1)相似文献   

一个变分双曲型组的解

本文研究带Dirichlet条件的边界值问题{□u+△G(u)=f(t,x),(t,x)∈Ω≡(0,π)×(0,π), (*)u(t,x)=0, (t,x)∈aΩ,的解的存在性,这里口是波算子a2/at2-a2/ax2,GRn→R是一连续函数.设σ(口)={k2-m2,k,m∈N}记波算子口的特征值的集合,(a2G(u)/auiaui)记u∈Rn.点处的Hessian阵.假定σ((a2G(u)/auiauj))∩σ(□)=φ.再设E={u|u(t,x)=∑k,mψkm(t,x)Ckm, Ckm ∈ Rn k,m ∈ N,∑k,m(k2+m2+1)|Ckm|2 ＜+∞},Y={y|y(t,x)=∑i,k,mμikmψkm(t,x)ei,k2 - m2 ＜γi(u),μikm ∈ R,k,m ∈N,∑k,m(k2+m2+ 1)|μikm|2＜+∞,i= 1,2,……,n} Z={z|z(t,x)=∑i,k,mμikmψkm(t,x)ei,k2 -m2＞γi(u),μikm ∈ R,k,m ∈ N ,∑k,m(k2 + m2+1)|μikm|2 ＜+ ∞,i = 1,2,……,n}.对Y中的k2-m2记ξ(‖u‖0) =min‖v‖0≤‖u‖0 mink,m∈N min1≤i≤n{γi(v)-(k2- m2) ＞ 0},对Z中的k2-m2,记η(‖u‖0)=min‖v‖0≤‖u‖0 mink,m∈N min1≤i≤n{k2-m2-γi(v)＞0},这里‖·‖0记(L2(Ω))n.假设∫+∞1ξ(s)ds=∞, ∫+∞1η(s)ds=∞.在上述条件下,我们使用R.F.Manasevich的最大值最小值定理证明问题(*)的弱解u0∈(H1(Ω))n的存在性和唯一性.     

Strong Goldbach Conjecture and Generalized Moser-Type Inequalities

In this paper, we consider the generalized Moser-type inequalities, say φ(n)≥kπ(n), where k is an integer greater than 1,φ(n) is Euler function and π(n) is the prime counting function. Using computer, Pierre Dusart's inequality on π(n) and Rosser-Schoenfeld's inequality involving φ(n), we give all solutions of φ(n)=2π(n) and φ(n)=3π(n), respectively. Moreover, we obtain the best lower bound that Moser-type inequalities φ(n)kπ(n) hold for k=2, 3. As consequences, we show that every even integer greater than 210 is the sum of two coprime composite, every odd integer greater than 175 is the sum of three pairwise coprime odd composite numbers, and every odd integer greater than 53 can be represented as p+x+y, where p is prime, x and y are composite numbers satisfying that p, and x and y are pairwise coprime. Specially, we give a new equivalent form of Strong Goldbach Conjecture.     

3n+2次Hermite插值多项式及插值误差

本文考虑3n+2次Hermite插值多项式及插值误差.通过构造基函数的方法得到一个3n+2次Hermit e插值多项式,并证明其存在唯一性,最后给出了数值例子.     

具Jacobi节点的Hermite—Feje′r插值算子的渐近估计

设J_n(x)是n阶Jacobi多项式,考虑Hermite—Fejr算子 其中b_K=cos((2k-1)π/(2n 1)) (k=1,2,…,n) 本文证明了下面的定理:     

蕴含Fk1,k2,1-可图序列

Gould, Jacobson和Lehel考虑了以下变形: 给定图$H$, 求最小偶整数, 使得所有满足σ(π)=d1+d2+…dn≥σ(H,n)的n项序列π(d1,d2,…,dn)有一个G实现含子图H. 设FK1,K2,1是K1个k3和k2个共一个顶点的图. 在本文中我们求出了当K1≥1,K2≥1和n≥max{9/2K12+7/2K1-1/2,2K1+K2+1}时, σ(FK1,K2,1,n)之值.     

一类周期函数在Hlder空间中的插值逼近

利用一类插值算子,研究了在Hlder空间中以2π为周期的反周期函数的三角插值的逼近和饱和问题,并讨论了其在该空间中的饱和及充要条件。     

(0,p(D))三角插值多项式对函数及其导数的同时逼近

证明了(0,p(D))三角插值多项式Rn(x)的s(s=0,1,…,q)阶导数一致收敛于函数f(x)的s(s=0,1,…,q)阶导数:设f(x)∈C2π,f(x)具有q阶连续导数,且f(q)(x)∈Lipα.0<α<1,若βk=Op(in)n(n)-f(s)(n)=Olnnnq+α,(k=0,1,2,…,n-1),则R(s)nq-s+α(s=0,1,…,q).     

光滑函数类_(k、σ、p)~0的单边宽度

本文研究由实系数线性微分算子Q_(k,σ)(D)=Dσsum form j=1 to (?)(D-tj)所定义的2π周期函数类,integyal form n=0 to 2π(Q_(k,σ))(D)f(X)dx=O;并给出其单边宽度d_n~+(m_(k,σ,1);L,)的精确估计值,以及达到其d(2n-1)~+((?)_(k,σ,1)) L,)的最优子空间。本文的结果推广了。