特殊解析函数类的星象半径与凸象半径

§1 引言设N是单位圆盘E={z||z|<1}内以条件f(0)=f′(0)-1=0标准化的解析函数f(z)所组成的类,S,S~*与K依次表示E内单叶函数,单叶星象函数与单叶凸象函数组成的N的子类.对α∈(0,1),若f(z)∈N在E内满足条件Re{zf′(z)/f(z)}>α,称f(z)是α级星象函数,其全体记作S~*(α);若f(z)∈N在E内满足条件Re{1 zf″(z)/f′(z)}>α,称f(z)是α级凸象函数,记作f(z)∈K(α)。我们用P_α,n(0≤α<1,     

关于单叶函数的几个判定定理

本文利用复变函数论中值定理给出判定单叶函数的几个定理及其证明,供教学参考。理引(中值定理)设 f(z)在区域 D 内正则,且连结 D 内相异的两点α,β的线段(?)仍属于 D 时,则在线段(?)上存在适当的两点(不包含α,β两点)z_1及 z_2使等式(f(β)-f(α))/(α-β)=Re{f′(z_1)}+ilm{f′(z_2)}成立。利用此引理给出如下几个单叶判定定理及推论。     

讨论一个特殊函数族

在参考文献[1]中的定理2得出,设 f(z)=z sum from n=2 to ∞ a_nz~n (1) 在单位园|z1<|内正则,且满足条件 Re{f~2(z)/z~2f′(z)}≥1/2 (2) 则在|z|<1内f(z)是单叶的。我们将此种正则单叶函数的全体称为族D·当a_2=0时记为D_o。本文的目的,首先建立族D中函数f(z)的一般表达式,其次,用建立的一般表达式找出D_o中函数f(z)的|f(z)|,|f′(z)|的准确上下界,f(z)的星形和凸形界限,并对f(z)的系数及写像面积和长度问题作出一些估计。     

一族单叶函数的凸形半径

本文讨论了函数族:R(α,β)={f′(z)=1+sum from n=1 to ∞ b_az~n,|f′(z)-1|/|2β(f′(z)-α)-(f′(z)-1)|<1}当(α,β)=((1+AB)(1-A)~(-1),(1-A)/2)(0相似文献   

某些近于凸调和函数的解析性质和系数估计

研究单位圆盘D上某些具有稳定近于凸的调和函数 f(z)=h(z)+g(z)^-解析部分 h(z)满足 Re{1+ z(h″(z))/(h’(z))}>c,-1/2c,-1/22时,估计了f=h+(-overg)在单位圆盘上的稳定近于凸半径.     

一类解析函数的Bohr定理

定义单位开圆盘D内的一个解析函数类P_α(D)={f∈A(D):Re［f(z)/z］≥α}(0<α≤1),给出其增长和掩盖定理.作为应用,得到P_α(D)上的Bohr半径r₀.特别地,当α=1/2时,r₀=1/3,推广了凸函数的Bohr半径.     

关于亚纯函数正规定则

本文得到了下述关于亚纯函数的几个正规定则. 定理1:设{f(z)}为域D内亚纯函数族,其中每个f(z)的极点之级≥3.ρ(z)为D内全纯函数不恒等于零,若在D内,f(z)≠0,f(z)≠ρ(z).则在D内{f(z)}为正规. 定理2:设{f(z)}为域D内的亚纯函数族,其中每个f(z)的极点的级≥3.ρ(z)为D内仅有简单零点的全纯函数.若在D内f≠0,f~(k)(z)≠ρ(z),k≥0,则{f(z)}在D内为正规.     

一类新的近于凸函数的子集

设P[A,B]={P(z):P(0)=1,P(z)在单位开圆盘E内解析且满足P(z)(1+Az)/(1+Bz),-1≤BA≤1},一个函数g(z)∈S*[A,B]当且仅当zg′(z)/g(z)∈P[A,B].函数族C*[A,B,C,D]={f(z):f(0)=f′(0)-1=0,f(z)在E内解析,(zf′(z))′/g′(z)(1+Cz)/(1+Dz),-1≤BA≤1,-1≤DC≤1},这是近于凸函数的一个子集,从而这些函数是单叶的.研究这个函数族与相邻函数族C[A,B,C,D]之间的关系,同时解决了系数估计和半径问题,给出了一个有效的判别方法.     

一个正规定则的改进

研究了亚纯函数的正规族,作者运用Nevanlinna值分布理论,推广方明亮关于正规族的一个结果,得到如下结果:设{f(z)}是域D内亚纯函数族,a≠0,b∈C,如果对{f(z)}中每个f(z)都有(f′(z))2-a(f(z))2≠b且f(z)的零点重数≥3,则{f(z)}在D中正规.     

近于凸函数系数问题

设 f(z)=(?)a_nz~n 在单位圆|z|<1内解析,若存在在|z|<1内星形函数 g(z)-(?)b_bz~n 使得 Re{zf′(z)/g(z)}>0则称 f(z)为近于凸函数,记其全体为 K_c.设 f(z)∈S,Φ(z)={f(z)/z}~λ=(?)D_n(λ)z~n,我们知道:|D_n(λ)|≤An~(2α-1)(n=2,3…)当α=λ,λ>1/4成立.当0<λ≤1/4,α为何数呢?还是一个未解决的问题,如果 f∈S~*时则α=λ成立(d>0),是否对于 K_c 中函数也成立呢?我们这篇文章就 K_c 中子族来解决此问题。定义