现代数学基础研究的由来

一、作为独立科学的数学众所周知,数学家对于数学的性质的看法,历来就有不同的观点,有些人倾向于把自然科学,特别是物理科学看作是数学问题和数学思想的最终源泉。另一些人倾向于把数学直觉看成是关于数学对象自身的抽象结构(不管把它们看成是什么)和对其它学科的独立性的某种基本的东西。还有一些数学家,对诸如自然数集或实数集这样的抽象数学对象,看成具有更强的意义下的“实在性”,当然对其它一些数学对象就并非有这样的感觉。也许,所有这些关于数学的感受和观点,在它开始时就已存在。例如,希腊数学就看到了公理几何学的发展和形式逻辑的原     

数学符号趣史

数学作为一门研究事物间数量关系和几何形状的科学,历来被认为是一切自然科学和技术科学的基础。当前,数学也日益受到社会科学家的重视,认为社会科学没有数学“介入”是难以发展的。究其原因,一方面是由于世间一切事物无不是质和量的统一体,因此研究时离不开数学这个工具;另一方面是由于数学有一整套完善的符号体系,其命题严密、可靠,无可争辩。正因为这样,文艺复兴时期的杰出人物达·芬奇就曾指出:“除非通过数学上的说明和论证,人们的探讨不能称为是科学的。” 数学的符号体系是人们在长期的探索和实践中发展起来的,是人类智慧的结晶。本文简要介绍若干主要数学符号产生的历史。     

偏微分方程——经典数学与现代数学的相互交融

偏微分方程是在自然科学和工程技术的各门分支中出现的 ,反映一些重要的物理量关于时间的变化和关于空间变量的变化之间的制约关系。例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程 ,很多是偏微分方程。它们不仅对于认识自然界基本规律是非常重要的 ,而且对于预测自然现象的变化和进行各种工程设计有着很重要的作用。由于它所面临的数学问题是多样而复杂 ,所以不断地促进着许多相关数学 (如泛函分析、复变函数、微分几何、代数、计算数学等 )的发展 ,并从中引进许多有力的解决问题的工具。所以 ,偏微分方程是纯粹数学的许多分支和自然科学领域间的一个桥梁。它既有悠久的历史 ,又不断地更新它的对象、内容和方法 ,不断地产生需要解决的新课题和方法。下面 ,我们将就它的部分历史与现状做一简单的介绍。     

数学——现代自然科学的生长点

众所周知，历史上数学与自然科学的关系极为密切。然而，由于当今数学的研究对象主要是一些逻辑上可构造的结构，“为了搞有价值的数学工作，事先不必考虑对科学是否有用”业已成为数学界普遍信奉的行为准则；而现代自然科学则以科学观察和科学实验为基本研究方法，一个理论，如果得不到科学实践的证实，科学家是不会无保留的接受。     

数学进步:数学教育改革的动力

新春伊始,<高中数学课程标准(实验稿)>正式发布.中学数学课程内容变动之大,令人着实感到:"数学变了,中学数学课程也变了!"有人会问,数学会变吗?1+1总归等于2,还能变成3吗?数学课程能变吗?除了代数、几何、三角,还能有什么?确实,数学万变不离其宗,其反映的客观数量关系不会改变.     

形状的研究进展及建立形状科学的探讨

近年来,关于物体形状的研究已经成了国际学术界的一个热门课题.本文简述了形状研究的历史,以此探讨建立一门新学科--形状科学:从事物的形状入手,探索形状形成的原因和规律.分析了形状科学的几个主要内容和方法并展望它的未来.形状科学不同于几何学(欧几里得几何、非欧几何、微分几何等数学意义上的几何),它试图突破传统学科按数、理、化、天、地、生这种人为分类的模式,从一种全新的视角看世界,应作为一门独立的科学来对待.     

微分几何的应用

本期刊登两篇数学方面的综述性文章。《微分几何的应用》一文介绍了微分几何在其他科学、其他数学分支及生产实际中的应用,值得有关科研工作者的重视。文中关于微分几何在孤立子理论中的应用一段,与为了纪念孤立波发现人罗素逝世一百周年而写的《孤立子及其数学理论》一文相呼应,可配合阅读。     

数理逻辑及其应用

数理逻辑是现代科学与技术的发展中最重要的新兴领域之一。它是一门“边缘”科学。它的研究对象深深地伸入好几门科学的对象中去,接触到这些科学的核心问题,对于各门科学的重要问题予以统一的综合的处理而形成自己独立的研究方向。数理逻辑的发展一般可以说是从莱布尼兹开始;莱布尼兹第一个提出这样的观念,认为逻辑学应当象几何和算术一样,可以借助于线条和算式以使得我们的思维能够有所遵循地前进,并且逻辑学应当象数学     

中介逻辑演算ML与中介公理集合论MS的纯数学意义及其应用前景

我们在[2]的§5中曾已极为简要地陈述了构造MM(ML&MS)系统之目的和意义。本文将在此基础上,较为详细地论述ML与MS在数学基础理论上的意义。并在最后分析讨论MM(ML&MS)的应用前景。§1 数学研究对象的再扩充在历史上,对于什么是数学这样一个问题的回答,数学基础诸流派曾各持己见而众说纷云。限于篇幅,在此不能作详细评论。后来,大多数数学家认为,恩格斯所说:“数学是研究数量和空间形式的一门学问”,乃是较为合理而正确地指明了数学     

自然杂志 第2卷(1979年)总目录

在民主和科学的旗帜下前进—纪念五四运 动六十周年(夏征农) 傲举应用数学三十年(彼得·拉克斯)应用数学的特点和重要性(关肇直)偏微分方程应当有多少边界条件?(谷超豪)数学的基础(莫里斯.克来因)4 .229一个九次不定方程的整数解(吴子乾)现代数学的进展(((现代数学规划和协作座谈 会》发言摘要)5.301数论中的若干猜想和问题(柯召孙琦)从三角形到流形(陈省身)人口控制问题(朱健李广元)盆子场论中的数学问题(夏道行)整体几何学(M.F.阿蒂亚)谈谈平面几何中的“三大难题”(杨忠道)控制论—三十年的发展(郑应平) 计林机科学计算机体系结构发展的…     

乔治·波利亚

乔治·波利亚(George Polya,1887～1985)是当代著名的数学大师,生前为法国科学院、美国国家科学院、美国科学艺术研究院、匈牙利科学院和国际科学哲学协会的院士或会员。他还是伦敦数学学会、瑞士数学学会和纽约科学协会的名誉会员。他在概率论、实变函数、复变函数、组合论、数论、几何等数学分支中作出了开创性的贡献,并在所有这些领域中都留下了以他名字命名的术语和定理。波利亚还是一位杰出的数学教育家,他开创了怎样解题这一新的研究领域,在合情推理这一领域中也做了大量工作。本文主要介绍波利亚的生平和他对数学内的一些贡献。一、道路的选择 1887年12月13日,乔治·波利亚诞生于匈牙利的布达佩斯,父亲雅可布·波利亚,母亲安娜·波利亚。     

数学在系统科学中的作用

数学在许多科学的发展和形式化过程中起了整合的作用,因而,自然地会讨论到数学和系统科学的关系。系统科学已经大量地使用了数学,尽管把系统科学看作是属于数学的和逻辑的领域(伯林斯基,1976)肯定是不恰当的。系统科学向来被看成是哲学、数学和方法论的一部分(贝塔朗菲,1969),它研究的是构成一客体或现象的组成部分之间的相互关系。许多系统方法已从较为传统的科学,如数学、生物学、工程技术和物理学中发展起来。传统的科学方法倾向于在实验室研究组成部分及其孤立行为,     

Riemann-Finsler几何

1 历史回顾 弧长元素具有 的几何学,其中F关于dx~i为正1阶齐次函数,称为Riemann-Finsler几何(简称Finsler几何)。粗略地讲,F是微分流形上在x点切空间上Minkowskian范数F_x之集并且F_x光滑依赖于x。“Finsler几何”的名称由来于Finsler 1918年的论文,他在文章中探讨了度量(1)的曲线和曲面的几何。其实,Riemann早在1854年他的就职演说中便已提出讨论度量(1)的几何学。而后,1900年巴黎国际数学大会上,Hilbert的第23个问题专门探讨了弧长∫ds的变分学以及相关的几何问题。利用关于齐性函数的Euler定理,Hilbert讨论的∫ds可化为Finsler流形的射影球丛(即射线丛)上的一个线性微分形式——称为Hilbert形式。这个发普形式在Finsler几何的探讨中起重要作用。     

“欧氏几何”是怎样产生的?

“欧氏几何”,一般地是指初等几何,它是生产实践和科学技术中一种最基本的数学工具,是中小学数学课程的基本内容之一。“欧氏几何”是怎样产生的?是劳动人民在生产实践中创造的,还是欧几里得等个别数学家“天才发明”的?这是唯物史观和唯心史观长期争论的一个问题。以马克思主义哲学作指导,认真研究“欧氏几何”的历史,从中考察一下科学与生产的关系,数学家与群众的关系,将有助于我们在工作中坚持辩证唯物论的反映论,批判唯心论的“先验论”。     

统计微生物学

人所共知,开创现代遗传学的里程碑,是1865年孟德尔(G.J.Mendel)在布尔诺(Brno)自然科学协会上关于豌豆杂交实验结果的报告.在他的报告中,用以阐明被后人称为孟德尔分离法则的遗传规律的数学工具是统计学.无独有偶,卢里亚(S.E.Luria)与德尔布吕克(M.Delbrück)在1943年发表的关于微生物自发突变的波动测验,被公认为现代微生物遗传学的起点,他们所借助的数学工具仍然是统计学.由于沃森(J.D.Watson)与克里克(F.H.C.Crick)在1953年对脱氧核糖核酸(DNA)分子结构的揭示,使得分子生物学及生化遗传学这样一些分支突进到生命科学的前沿.     

数学:科学统一的纽带

美国科学基金会(National Science Foundation)为了增进公众对科学技术的了解,从1985年起开展“全美科学周”(National Science Week)活动,1986年的科学周是5月11～17日。为了配合这次活动,美国国家研究委员会(National Research Council)所属数学科学部于1986年5月12日在国家科学院召开了题名《数学:科学统一的纽带》(Mathematics: The Unifying Thread in Science)的专题会。会议的目的是强调数学与其它科学的相互联系。会议由著名数学家辛格(Isadore M.Singer)主持,邀请了三位诺贝尔奖获得者到会讲演,他们是科马克(A.M.Cormack,获1979年诺贝尔医学奖)、霍普特曼(H.A.Hauptman,获1985年诺贝尔化学奖)和温伯格(S.Weinberg,获1979年诺贝尔物理奖)。讲演者们用通俗的语言具体介绍了如何把数学巧妙地用于他们的获奖工作中,并且讨论了数学和物理的“不可思议的”联系。讲演者们还回答了听众提出的一系列涉及数学教育、公众对数学的态度、政府对数学的政策以及数学和其它科学的关系等有趣的问题。会议的详细记录见1986年第5期的Notice杂志(p.716～733)。这里选译了其中主要内容,以飨读者。     

勾股定理

<正>公式a2+b2=c2(其中a,b分别为直角三角形的两直角边长,c为斜边长)。内容勾股定理,是指平面上的直角三角形的两条直角边的长度(又称勾长、股长)的平方和等于斜边长(又称弦长)的平方。勾股定理是一个基本的几何定理,是用代数思想解决几何问题的重要工具之一,是余弦定理的一个特例,被称为"几何学的基石"。勾股定理是人们认识宇宙中形的规律的自然起点,有着十分悠久的历史。关于对勾股定理的证明,世界上约有400多种方法,是数学定理中证明方法最多的。     

几何代数和几何计算(一)

数学是研究现实世界的“数”与“形”的科学。数学就是围绕这两个概念的演变而发展的，也通过这两个基本概念应用到各个不同的领域中去。代数是研究“数”的学科，几何是研究“形”的学科。数学科学发展的历程中两者彼此独立，又相互缠绕。几何（形）的概念用代数（数）表示，几何的目标可经过代数计算实现；反之，代数语言赋有了几何背景，可更加直观地理解它们的意义。发现它们的丰富内涵。吴文俊院士指出：几何代数化，在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决定性的作用。     

多复变中的强开性猜想和L2解析延拓问题

正乘子理想层是多次调和函数奇点的不变量,在多复变和复几何中扮演了重要角色.关启安和周向宇院士合作证明了Demailly提出的关于乘子理想层的强开性猜想,被美国数学评论(MathematicalReviews)称为"近年来复分析和代数几何交叉领域最重大的成就之一".作为应用,关启安和周向宇院士合作证明了Demailly-Ein-Lazarsfeld、BoucksomFavre-Jonsson、Demailly-Kollár和Jonsson-Musta?ǎ等提出的多个猜想.     

结合自然科学和工程技术发展数学

回顾一下数学发展的历史,特别是近三百年的历史,以及展望数学今后发展的趋势,是当前数学工作者所面临的重要任务。本文的目的是分析一下近代数学发展三百多年的历史,说明数学和自然科学与工程技术之间的关系,并讨论一下这种关系本身的发展,以便更好地看出今天数学发展中一种重要的趋势。一近三百年数学发展历史的回顾关于数学的起源,恩格斯曾给出了扼要的说明:“首先是天文学——单单为了定季节,游牧民族和农业民族就绝对需要它。天文学只有借助于数学才能发展。因此也就不