关于复矩阵迹的算术--几何平均不等式

证明了比R.Bellman提出的"类似于算术-几何平均不等式的矩阵迹不等式"在形式上更接近算术-几何平均不等式的矩阵迹不等式|tr(m∏k=1Ak)|1/m≤1/mm∑k=1trAk且证明了更一般的结论及相关重要结果tr(m/k=1atkk)1/tm≤Tmm=1tk*tr(akak*）1/2和ti=1tr(mk=1a(I)k)mk=1{ti=1{tr(aika(t)k*)a/2k]a/2k}1/Bi,其中Tm=mk=1tk,tk,ak,Bi是正整数,mk=1a-1k≥1,ti=1B-1i≥1.     

自由代数F_m的E(n)-模代数的证明

对任一个m×n矩阵Γ∈Mm×n(k),给出E(n)在m个变量的自由代数Fm上有一个作用,证明了该作用使得自由代数Fm成为一个E(n)-模代数.     

Hermite矩阵迹的一个不等式

对于n阶半正定Hermiter矩阵A和B及自然数m,本文证明了不等式:tr(A~(1/2)BA~(1/2))~(m/2)(B~(1/2)AB~(1/2))~(m/2)≤tr(AB)~m≤tr(AB~2A)~(m/2)特别当m=2~K时,Bellman猜想成立,即有tr(AB)~(2k)≤trA~(2k)B~(2k)     

Clifford代数C(Λ)的E(n)-模代数结构

对于域k上任一个m×m矩阵Λ∈Symm(k)定义了一个Clifford代数C(Λ),C(Λ)同构于自由代数Fm(Γ)模去某个理想I的商代数.证明了I是Fm(Γ)的E(n)-子模,由此推出C(Λ)也是一个E(n)-模代数,它的E(n)-模作用由E(n)在Fm(Γ)上的作用导出,记这样的Clifford E(n)-模代数为C(Λ,Γ),同时刻画了C(Λ,Γ)的相关结构.     

矩阵代数的乘法映射与反乘法映射

设P是一个域,Γn是满足{αEij|i,j=1,2,…,n,α∈P} (P)的一个乘法半群,其中Mn(P)定义P上所有n×n矩阵组成的乘法半群.证明了一个结果:若f:Γn→Mn(P)是一个保零矩阵的乘法映射,Fij(i,j=1,2,…,n)是Mn(P)中n2个矩阵,且满足FijFkl=δjkFil(i,j,k,l=1,2,…,n),则存在可逆阵S∈Mn(P),使得f(Fij)=S-1FijS,i,j=1,2,…,n.由此刻画了Γn的保迹反乘法映射.     

一类二次特征值问题的向后误差分析

在高速列车的振动分析中,会遇到一类二次特征值问题(λ2 AT+λQ+A)z=0,其中A和Q为n×n复矩阵,且具有如下特殊结构:A和Q都是m×m的分块矩阵,每个块有k×k个元素,即n=m×k;此外,Q是块三对角阵,A只有位于(1,m)位置的一个块为非零块.本文主要讨论此类二次特征值问题的向后误差,并且证明了矩阵A的误差仅存在于它的非零块A13上.     

广义极分解的扰动等式

研究m×n(m≥n)且秩为r的复矩阵A的广义极分解A=QH,其中Q为m×n次酉矩阵,H为n×n半正定矩阵;利用奇异值分解的方法,给出了在任意酉不变范数下Q和H的扰动等式.     

酉不变范数下广义极分解的扰动界

设A是m×n且秩为r的复矩阵,存在m×n次酉矩阵Q和n×n半正定矩阵H使得A=QH.此分解称为A的广义极分解.文章给出了在任意酉不变范数下次酉矩阵Q和半正定矩阵H的扰动界.     

若干交换算子不等式(英文)

本文中设Γ和■为m×n矩阵,A和B分别为m及n阶正规矩阵,利用矩阵特征值与奇异值性质,证明~如下不等式:σ||AI_(m×n)~(r)-I_(m×n)~(r)B||_F≤||AΓ-■B||_F.同时,推广了相关文献的结论 .     

关于(A+tB)m主子式的和的注记

当A,B中有一个是正定矩阵,另一个是半正定矩阵时,(A tB)m的主子式的和在k=n(任意m)和m<3(任意k,n)这两种情况下是关于t的正系数多项式.     

Fuzzy亚对称方阵的亚可实现问题及亚可实现条件

在 [0 ,1]格上讨论 :已知n×n阶Fuzzy矩阵B ,问是否存在Fuzzy矩阵A =(aij) n×m 使B =A AST,其中 ,AST =(aklST) m×n,aSTkl =an-l 1,m -k 1,k=1,2 ,… ,m ;l =1,2 ,… ,n , 为Fuzzy矩阵间的max min合成算子 .如果存在使B =A AST 成立的Fuzzy矩阵A ,则称B是亚可实现的 .进一步设w(B)=min{m｜A是n×m阶Fuzzy矩阵且使B =A AST} ,称w(B)为B的亚容度 .将证明存在使B =A AST 成立的Fuzzy矩阵A的充要条件是B =BST;进一步 ,w(B)≤ 2n2 - 1.     

运用矩阵迹直接求其多重特征根

本文利用建立的矩阵的特征多项式的系数与其迹的关系,证明了下列结论:n阶方阵A具有m(0≤m≤n)重非零特征根a,n-m重零特征根的充分必要条件是tr(A~k)=ma~k,k=1,2,…,n.并由此给出了几大类矩阵具有多重特征根的条件。运用本文方法,求上述n阶方阵A的非o多重特征根a可通过矩阵的元素直接求出,而不需要求矩阵的特征多项式。     

关于矩阵的迹的Cauchy-Schwarz不等式

(一) 1 980年,Bellman,R。[2〕证得* Ztr(AB)喊tr(AZ) tr(BZ),(1) tr(AB)喊:tr(AZ)}女、tr(B。)}气(2)其中A,B为n阶正定矩阵,tr(A)为矩阵A的迹。(i)式等号成立的充要条件是A=B;(2)式等号成立的充要条件是B为A的常数倍。文〔月证得: 定理1若A,B为。阶Hermite矩阵,则(i),(2)两个不等式成立。 本文给出了满足不等式(1),(2)的另外几类矩阵。(二)对于。阶三角矩阵,文〔月证得,定理2设A、==(a,J)、,k二i,2,一,m(m>2)为。阶上(下)三角矩阵,且主对角线元素为非负,则tr(A 1 Ar二A二)喊tr(A份) t:(人蓄) .二 tr(A:) 切(3)式中等号成立当…     

实对称矩阵的某些不等式

1980年,Bellman,R.在文〔1〕中证明了下面的不等式 tr(AB)≤{tr(A~2)tr(B~2)}~(1/2) (1) 2tr(AB)≤tr(A~2)+tr(B~2) (2)这里A,B是同阶正定矩阵。 本文得到了与(1)、(2)类似的不等式 tr((AB)~m)≤{tr(A~(2m))tr(B~(2m))}~(1/2) (3) 2tr((AB)~m)≤tr(A~(2m))+tr(B~(2m)) (4) 其中A、B是同阶实对称矩阵,m=2~k(k为非负整数)     

非线性规划方法简介(Ⅲ)

五、带线性约束的最优化问题这一章我们讨论如下的非线性规划问题 minf(x) Ax=b, (5.1) Dx≥d,其中A和D分别是m_1×n和m_2×n矩阵,且A是行满秩的矩阵。符号A_1和D_1分别表示矩阵A的第t行和矩阵D的第i行。如果(?)是问题(5.1)的一个可行解,定义标号集(?),我们称(?)中的标号对应的约束条件为点(?)的“起作用约束”(或主动约束),同时每一等式约束条件A_ix=b_i也是点(?)的起作用约束。起作用约束这一概     

保持矩阵Frobenius范数的乘法映射

设Γn是满足{aEij|i,j=1,2,…,n,a∈R}(∪)Γn(∪)Mn(R)的一个乘法半群,其中Mn(R)定义R上所有n×n矩阵组成的乘法半群,证明了若f : Γn→Mn(R)是一个保Frobenius范数映射,则存在正交阵U∈Mn(R),使得U'f(A)=U-1f(A)U=A,(A)A∈Γn.     

具有时变时滞的两个复杂动态网络间的外同步

本文讨论了一类具有时变时滞的驱动-响应网络的外同步问题.以线性矩阵不等式(LMI)和Lyapunov泛函方法,获得了该两个复杂动态网络间达到外同步的判据.即当系统参数满足下列条件之一:即当(1)0≤i(t)≤σ＜1,Mi＞0,Si＞0,[Ui(t)λicMiΓ λicΓTMi-(1-σ)Si]＜0,i=2,…,N;(2)i(t)≤0,τ(t)≤τ,0＜τ＜∞,Mk＞0,Sk＞0,[Uk λ kcM kΓ-Y k τHTZkλkcΓTMk-Sk τλkcΓZk τZkH τλkcΓ-τZk]＜0,k=2,…,N,则驱动-响应网络达到外同步.最后用数值例子验证了结论的有效性.     

降维法快速求解A(n,k)精确公式

A(n,k)=∑km=1∑mr=1∑[k/m]-1j=0t(k)m,r,j×nj×s(r,m)×ζnrm,ζm=e2πi/m,s(r,m)=1,gcd(r,m)=10,其他为丢番图方程∑ki=1ixi=n的非负整数解的个数.虽然用解线性方程组的方法可求得A(n,k)的所有系数,然而,该求解过程却非常耗时.本文利用方程(1-x)(1-x2)...(1-xk)=0的相异根的幂可能存在的相等关系,即取适当的正整数g使某些相异根的g次幂相等来实现同类项系数的合并以降低方程的维数,达到提高方程求解速度的目的.     

一类广义左右特征值反问题

本文考虑如下问题:问题Ⅰ(a)给定X∈Rn×p p,y∈Rm×p p,A=diag(λ1Ik1,λ2Ik2,…,λnIkn)∈Rp×p且k1 k2 … k1=p,λ1,…,λ1互异.求矩阵A,B∈Rm×n,使得AXA=BX, ATYA=BTy.问题Ⅰ(b)给定矩阵X∈Rm×p p,y∈Rn×p p,A=diag(λ1Ik1,λ2Ik2,…,λ1Ik1)∈Rp×p且k1 k2 … k1=p,λ1,…,λ1互异.求矩阵A,B∈Rm×n,使得AXA=BX, ATyA=BTy, YTAX=Ip,YTBX=A.问题Ⅱ给定A,B∈Rm×n,求[A,B]∈SAB,使得‖ [A,B]-[A,B]‖F=inf [A,B]∈s AB‖[A,B]-[A,B]‖ F,其中SAB是问题Ⅰ的解集合.借助于矩阵X,Y的奇异值分解给出了问题I的通解表达式,证明了问题Ⅱ的解存在唯一,并给出了问题Ⅱ的唯一解的显式表示.     

关于差分方程稳定的充要条件

如所周知应用Lax&Richtmyer理论可将差分方程的稳定性问题归为增长矩阵G(△t,k)的n次幂的一致有界性问题: ||G~n (△t,k)||≤M①,0≤△t≤τ_0,k∈?,0≤n△t≤T,n=0,1,2…其中?是某整数或实数集(视混合问题或Canchy问题而定)。本文利用将增长矩阵演化为三角阵的方法,得出对任意p阶矩阵n次幂一致有界的一个实用充分条件[定理1]和充要条件[定理2]由此推出一些更便于检验的稳定性判刑法,