三维Minkowski空间中的伪球面曲线

在三维Minkowski空间中讨论伪球面曲线.首先给出Minkowski空间中伪球面曲线的Frenet标架,然后利用伪球面曲线的特殊性,给出它的一种新的Frenet标架形式,并进一步研究了该曲线为一些特殊曲线的情况.     

三维Minkowski空间中伪零曲线的表达形式

三维闵可夫斯基(Minkowski)空间中的类空曲线根据其主法向量的性质分为第一类类空曲线、第二类类空曲线和伪零曲线.讨论了三维Minkowski空间中伪零曲线的表达形式.首先,由伪零曲线的定义给出两个结构函数,并用结构函数将伪零曲线的Frenet标架以及曲率函数表达出来,同时找到所定义的两个结构函数之间满足的关系.最后,讨论曲率函数为常数的伪零曲线及其结构函数的表达形式,并给出相应的例子及图形表示.     

三维Minkowski空间中的圆纹曲面

在三维闵可夫斯基(Minkowski)空间中定义了以类时曲线为脊线的圆纹(canal)曲面,并对温加顿(Weingarten)圆纹曲面进行了分类.与三维欧氏空间类似,首先以类时曲线的伏雷内(Frenet)标架为基础,结合圆纹曲面的几何定义,得到了伪正交标架下以类时曲线为脊线的圆纹曲面的参数方程.然后,建立此类圆纹曲面的基本理论,包括第一、第二基本量,高斯曲率和平均曲率等.在此基础上,得到了高斯曲率和平均曲率之间的关系,并对Weingarten圆纹曲面进行了详细的讨论.得到了三维Minkowski空间中以类时曲线为脊线的Weingarten圆纹曲面是管道曲面或者旋转曲面的结论.     

三维Minkowski空间中二次曲面的分类

研究了二次曲面绕不同坐标轴旋转后再进行平移变换下的不变量,根据这些不变量来研究二次曲面的等价类,达到分类的目的.在三维Minkowski空间中,二次曲面的变换有旋转和平移,旋转又分为在正交标架下绕类空轴、类时轴的旋转和在伪正交标架下绕类光轴的旋转,在不同的旋转变换下有不同的不变量,分类结果也不同.     

三维Minkowski空间中的k-型伪零螺线

在三维Minkowski空间中定义k-型伪零螺线，并结合结构函数讨论k-型伪零螺线的几何性质.首先，根据伪零曲线的概念定义伪零曲线的结构函数，进而得到伪零曲线的结构表达式以及结构函数与伪零曲线的曲率函数之间满足的关系.然后，讨论k-型伪零螺线的几何性质.结果表明，三维Minkowski空间中任意伪零曲线都是1-型伪零螺线，不存在2-型伪零螺线以及得到了3-型伪零螺线的曲率函数满足的微分方程等结论.与此同时，给出k-型伪零螺线的轴的表达式以及轴的类型 (类空轴、类时轴、类光轴).     

三维欧氏空间中的球面曲线

依据经典微分几何空间曲线的基本理论与特征,采用一种新的活动标架——三维欧氏空间中的球面Frenet标架,并利用三维曲线的Frenet标架场,对三维欧式空间中的球面曲线进行研究,得到了在三维空间E~3下的贝特朗、曼海姆及从切等特殊曲线,给出了一个由曲线的曲率与挠率的一阶常微分方程描述的三维欧氏空间中的球面曲线,得出了比对应微分方程阶数更低的条件,且大大简化了计算过程.     

R31空间中特殊曲线和可展曲面的奇点分类

本文主要研究在指标数为1的3维伪欧氏空间(即三维Minkowski空间)中,我们给出Minkowski一般螺线、Minkowski斜螺线和Minkowski锥面测地线的定义及其所特有的性质,研究Minkowski一般螺线的等价条件,构造出三维Minkowski空间中的三类可展曲面,研究Minkowski斜螺线和Minkowski锥面测地线这两种特殊曲线和这些曲面的关系,给出R31中非类光曲线的达布型可展曲面和切达布型可展曲面的奇点分类.     

三维Minkowski空间中的平移曲面

讨论三维Minkowski空间中的平移曲面。曲面的性质主要取决于高斯曲率和平均曲率,所以研究曲面的高斯曲率和平均曲率之间的关系,也就是曲面的Weingarten型有着重要的意义。在三维Minkowski空间中,存在类空、类时、和类光3种向量,选取这3种向量中的任意2种作为2个平移方向,可以将平移曲面分为6类。在伪正交标架下,选取一种新的度量形式,对沿类光和类空方向平移的平移Weingarten曲面进行了研究。首先,根据微分几何中的基本知识,得到了该种度量形式下的平移曲面的第1、第2基本形式以及高斯曲率和平均曲率;然后,主要利用高斯曲率和平均曲率之间的线性关系和平方关系,得到了这类平移曲面的分类定理。     

三维Minkowski空间中的类光螺线

在三维Minkowski空间中讨论类光螺线.首先给出三维Minkowski空间中类光曲线的Frenet标架,提出用类光曲率函数来描述类光曲线的方法;其次给出类光螺线的定义,分别根据类光曲线的切向量、主法向量、副法向量与固定方向向量的内积为常数,将类光螺线分为一般类光螺线、第一类斜类光螺线和第二类斜类光螺线;最后研究三种类光螺线的类光曲率函数所具有的性质,并得到了各种情况下类光螺线的具体表达形式.     

R_1~3空间中特殊曲线和可展曲面的奇点分类

本文主要研究在指标数为1的3维伪欧氏空间(即三维Minkowski空间)中,我们给出Minkowski一般螺线、Minkowski斜螺线和Minkowski锥面测地线的定义及其所特有的性质,研究Minkowski一般螺线的等价条件,构造出三维Minkowski空间中的三类可展曲面,研究Minkowski斜螺线和Minkowski锥面测地线这两种特殊曲线和这些曲面的关系,给出R31中非类光曲线的达布型可展曲面和切达布型可展曲面的奇点分类。     

三维Minkowski空间中的平移曲面

在三维Minkowski空间中,存在类空、类时和类光三种向量,选取这三种向量中的任意两种作为两个平移方向,可以将平移曲面分为六类.在伪正交标架下,选取一种新的度量形式,对沿两个类光方向平移的平移Weingarten曲面进行了研究.首先,根据微分几何中的基本知识,得到了该种度量形式下的平移曲面的第一、第二基本形式以及高斯曲率和平均曲率;然后,主要利用高斯曲率和平均曲率之间的线性关系和平方关系,得到了这类平移曲面的分类定理.     

三维Minkowski空间中两类伴侣曲线

讨论了幂零曲线和主法向量是幂零的类空曲线，得到了关于它们的Bertrand伴侣曲线和Mannheim伴侣曲线的一些结果，并给出一些例子。     

伪标准正交基的一种求法

利用双线性函数给出了伪标准正交基和伪单位矩阵的概念,讨论了伪单位矩阵的性质,在欧氏空间Schmidt正交化方法的基础上,得到了一种在伪欧氏空间中求伪标准正交基的方法.     

三维欧氏空间中主法线曲面的结构函数

在三维欧氏空间中,主法线曲面作为特殊的非可展直纹面具有良好的代数和几何性质.运用微分几何的方法研究主法线曲面的结构函数.根据三维欧氏空间中不可展直纹面的定义和标准方程,给出曲线的主法线曲面的定义和标准方程.从主法线曲面的定义和标准方程出发,得到主法线曲面的结构函数之间满足的关系,以及曲线的主法线曲面的结构函数、准线和腰曲线三者之间的联系.讨论Mannheim曲线和一般螺线的主法线曲面,得到Mannheim曲线的主法线曲面是其侣线的副法线曲面,一般螺线的主法线曲面是正螺面.