柯西不等式的妙用

柯西不等式是一个非常重要的不等式,它在解决不等式有关证明的问题中有着十分广泛的应用,多年来国际数学奥林匹克大赛(IMO)多次考到了柯西不等式,那么怎样恰到好处的用柯西不等式解决问题,应当说这是人们一直在探究的问题.为此,笔者简谈以下几点看法.     

巧用柯西不等式解题

本文根据不等式的多解性,运用柯西不等式以及均值不等式,得出了以下不等式的巧解.旨在激发读者的兴趣,去欣赏和探究其解法的巧妙和独特之处,激励数学爱好者思考不等式自然简便的解法.并且,在不等式的证明中,有时需要将几类不等式结合起来解题,望唤起读者探究不等式证明的综合方法.     

不等式的探究性教学

本文从含参变量的不等式,含有两个绝对值的不等式两个方面探究不等式的求解方法。     

对称函数的一些不等式(英文)

本文得到关于樊(土畿)不等式的推广的进一步扩张.对于参数值限制其范围这些不等式是真确的.特别地,我们有樊(土畿)不等式、Cauchy不等式、Maclaurin不等式及某些别的不等式(例如[1]).     

双弦幂积分不等式的注记

设K为Rd中的有界凸体,σ1,σ2分别为K 被随机直线G1,G2截得的弦长,则称 * 为凸体 K 关于m,n的双弦幂积分,双弦幂积分是积分几何中弦幂积分概念的推广,经典的等周不等式、弦幂积分完全不等式、Rd中弦幂积分统一不等式都隶属于双弦幂积分不等式范畴,故研究关于双弦幂积分的不等式具有重大意义。利用线偶的运动不变密度、H lder不等式及Schwarz不等式,得到几个关于双弦幂积分的不等式,即文中的(7)、(10)、(12)、(16)、(17)、(22)和(23)式。(注：*处代表公式)
     

关于(α,m)-凸函数乘积的Hermite-Hadamard型不等式

Hermite-Hadamard型不等式是积分不等式中的一类重要不等式.在控制理论等领域内有广泛的应用,关于(α,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式已经得到.本文基于(α,m)-凸函数的定义,利用H(o)lder不等式得出了一些新的关于(α,m)-凸函数乘积的Hermite-Hadamard型不等式.     

若干重要不等式的一种统一推广

本文给出一个优美的四数组型不等式。它不仅是柯西不等式、契贝谢夫(弱条件)不等式、拉普拉斯不等式的统一推广，而且利用它还可以导出一些其它的重要结景，例如比较两个(不同权系数的)加权均值的不等式。     

若干重要积分不等式的等价性

给出了几何平均值与算术平均值不等式、cauchy不等式、Чебышев(切比雪夫)不等式、Н lder不等式、Ляпунов(利雅普诺夫)不等式、三角不等式和Minkowski不等式的积分形式并证明了它们之间的等价性,证明了它们τ2(x)dx>0,其中τ(x)是区间[a,b]上任一正值连续函数.等价于∫ba     

双弦幂积分不等式的注记

设K为Rd中的有界凸体,σ1,σ2分别为K被随机直线G1,G2截得的弦长,则称Im,n(K)=∫G1∩G2∈Kσm1σn2dG1dG2为凸体K关于m,n的双弦幂积分,双弦幂积分是积分几何中弦幂积分概念的推广,经典的等周不等式、弦幂积分完全不等式、Rd中弦幂积分统一不等式都隶属于双弦幂积分不等式范畴,故研究关于双弦幂积分的不等式具有重大意义。利用线偶的运动不变密度、Hlder不等式及Schwarz不等式,得到几个关于双弦幂积分的不等式,即文中的(7)、(10)、(12)、(16)、(17)、(22)和(23)式。     

关于单形两个不等式的推广

近期,苏化明同志获得关于单形的两个重要不等式(1)、(2),本文推广了他的结果,获得关于单形更一般的三个不等式(3)、(4)、(17)。