形如“ax~2+bx+c”分解因式的讨论

<正> 进行多项式的因式分解,必须在给定的范围内分解到不能再分解为止。而进行多项式的因式分解,通常会遇到形如“ax~2+bx+c”在指定的范围内能否再分解的问题。 那么,怎样才能知道一个多项式能否再分解因式呢?这是许多中学生所关心的问题。下面仅对形如“ax~2+bx+c”的二次三项式的因式分解问题加以讨论。     

关于二元及三元二次多项式因式分解问题的讨论

(一)二元二次多项式可分解成一次因式的条件定理1:实系数二元二次多项式F(x,y)≡a_(11)x~2 2a_(12)xy a_(22)y~2 2b_1x 2b_2y c,在实数范围内可分解成一次因式的充要条件是:     

n元实二次多项式因式分解的矩阵判别法

用矩阵方法给出了一个判别实ｎ元二次非齐次多项式可分解为二个一次因式的乘积的方法，解决了这类多项式的因式分解问题。     

二元多项式因式分解的一种方法——双十字相乘法

在初中代数中,已讲过十字相乘法,其研究对象主要是一元多项式;如果是二元多项式,继续用十字相乘法,则有时并不简易.为此,我们讨论一种新因式分解法——双十字相乘法.例1 将 x~2-y~2-2x+4y-3分解因式.解因 x~2-y~2=(x+y)(x-y),-3=(-3)×1,     

实系数二元二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f(a2+b2+c2≠0)可分解因式的条件及其分解方法

本文利用初等数学知识,以及高等数学中的线性代数知识,结合具体的例题,详尽地论述了实数范围内二元二次多项式ax2 bxy cy2 dx ey f(a2 b2 c2≠0)可分解因式的条件及其分解方法——具体给出实数范围内二元二次多项式ax2 bxy cy2 dx ey f(a2 b2 c2≠0)可分解因式的三个充要条件和一个必要条件,以及六种分解方法。文中同一例题在不同分解方法中的使用,更增添了各种分解方法之间的可比性。     

二次曲线方程分类与化简的新方法

通过对二元二次多项式是否可约的讨论,给出了二元二次多项式要约的充要条件,以及二元二次多项式可约时,因式分解的统一方法。这样一来,在没有学习过坐标系的平移、旋转、不变量等知识的时候,只要通过对二元二次多项式是否可约的判定,然后通过因式分解,不仅可以比较简单地把二元二次方程代表的曲线进行分类、化简,画出具体图形,而且使我们从另一个角度对圆锥曲线运动轨变有了一种新认识。     

一类多元多项式可分解因式的一个充要条件

在高等代数上给出了二元二次多项式在复数域上可分解因式的充要条件。本文拟将这类多项式推广,并给出它们在任意数域上可分解因式的一个充要条件。     

四次有理系数多项式的一种因式分解法

如果一个一元四次多项式在有理数范围内是可约的,则它可分解成一次因式与三次因式之积或两个二次因式之积(其中二次或三次因式不可约,若可约可继续进行分解).前一种情形比较简单,可通过求有理根的方法解决.对于后一种情形,虽然可以采用费拉利法或笛卡儿法以及近年一些刊物介绍的方法加以解决,但解法甚繁.为此,我们想寻求一种既可行又简便的方法。这就是本文所要解决的问题,     

导数在求方程重根中的应用

用导数的方法，给出了多元多项式具有重因式、能因式分解的必要条件和操作步骤，以及判断方程是否为重根的充分条件。并且，提供了中学教学中常见的二次六项式能否进行因式分解的条件。     

关于不可约多项式性质定理的注记

本文对北京大学编《高等代数》中不可约多项式的两个性质定理给出四个注记,对教材内容作了必要的补充,注记4圆满地解决了不可约多项式f(x)的k重因式(k≥1)的判别条件。并且完整地加以证明。多项式理论以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容,不可约多项式是一等重要     

多项式X2m-1在环Z(2m-1)k上的因式分解

研究多项式X~(2m)-1在环Z((2m-1))~k上的不可约因式分解,其中2m-1为素数,并给出X~(2m)-1不可约因式系数之间的约束关系,以及m=4、6时X~(2m-1)-1的不可约因式分解。     

二元二次多项式可在实数范围内分解因式的判别法

本文给出了二元二次多项式可在实数范围内分解因式的一种判别法，这是高等数学在中学数学的一个应用。     

关于整系数多项式有理根的推广及应用

本文将高等代数中的整系数多项式扩展为另外变量的多项式 ,对含多个变量的多项式进行因式分解。这种方法分解因式可以解决中学数学教学中出现的较为困难的因式分解问题     

多元多项式因式分解初探

本文讨论了下面三个主要问题:一、多元多项式可分解为一次因式之积的条件;二、分解方法与实例;三、复数域对多元多项式因式分解的不封闭性.一、条件为了后面的应用,先做些准备性的说明.文中的分解都是实系数多项式在复数域内的分解.记号 i≠j≠…≠k,表示式中任意两个数都不相等.     

导数在因式分解中的应用

分解因式方法灵活多变，技巧性强，尤其是多元项式的因式分解更为复杂。目前，还没有一种统一的方法可行。本文给出了多元多项式能因式分解的必要条件和操作步骤，使多元多项式的分解变得简单。     

实系数二元二次多项式在R中可分解的条件及分解方法

多项式可以用多种方法来分解因式，但当次数较高或元数较多时，分解起来就很困难。本文就二元二次多项式可分解的充要条件进行了讨论，并给出了具体的分解方法。     

关于整系数多项式的因式分解

本文对陈重穆教授１９６３年的关于整系数多项式的因式分解方法提出了改进，并由此得出分解整系数多项式因式的一种较简捷的方法。     

初等因子定理的一个证明

本文所说的初等因子定理指的是下面的定理首先用初等变换化特征矩阵λE—A 为对角形式,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A 的全部初等因子。     

环Z_2+uZ_2+u~2Z_2(u~3=1)上的2-D斜循环码

本文研究了环Z_2+uZ_2+u~2Z_2上的2-D斜循环码,对二元斜多项式的性质和因式分解进行了讨论。同时研究了线性码是2-D斜循环码的充要条件、2-D斜循环码的性质及其构造方法 。     

从一道数学竞赛题谈起

1978年全国数学竞赛有这样一道题:对多项式x~(12)+x~9+x~6+x~3+1进行因式分解。具结果是x~(12)+x~9+x~6+x~3+1=(x~4+x~3+x~2+x+1)(x~8-x~7+x~5-x~4+x~3-x+1)。这个结果恰好是将等式左边x~(12)+x~9+x~6+x~3+1中的x~3换为x就是等式右边的第一个因式x~4+x~3+x~2+x+1,我们知道,x~4+x~2+1=(x~2+x+1)(x~2-x+1),这道题的结果也是将等式左边的x~2换为x就是等式右边的第一个因式x~2+x+1。由这两道题的结果使人想到:上述两例是否具有普遍性?对于这个问题的回答,我们有如下定理: