试论二元二次非齐多项式因式分解的条件——兼与李朝胜同志商榷

《数学通报》1981年5期载李朝胜同志《关于多项式的因式分解问题》一文。其中论述“二元二次非齐多项式的因式分解”部分说: “形如Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F的多项式,叫做二元二次非齐次多项式。如果它能分解因式的话,一定是分解成两个一次因式的积,即(ax+by+c) (dx+ey+f)的形式。在什么条件下才能分解成这种形式呢?这里有如下定理。     

n元实二次多项式因式分解的矩阵判别法

用矩阵方法给出了一个判别实ｎ元二次非齐次多项式可分解为二个一次因式的乘积的方法，解决了这类多项式的因式分解问题。     

导数在求方程重根中的应用

用导数的方法，给出了多元多项式具有重因式、能因式分解的必要条件和操作步骤，以及判断方程是否为重根的充分条件。并且，提供了中学教学中常见的二次六项式能否进行因式分解的条件。     

实数域上二次多项式的因式分解

本文定理1—4,论述了实数域上n元二次多项式因式分解的可能性判别法则,以及具体分解方法。     

因式分解在证题中的应用

本文探讨了因式分解在证题中的应用问题。认为：因式分解在证题中的应用，有通过因式分解观察多项式是否含有某些因式，或观察整值多项式是否含有某些因素等等四种情况。     

二元二次多项式可在实数范围内分解因式的判别法

本文给出了二元二次多项式可在实数范围内分解因式的一种判别法，这是高等数学在中学数学的一个应用。     

形如“ax~2+bx+c”分解因式的讨论

<正> 进行多项式的因式分解,必须在给定的范围内分解到不能再分解为止。而进行多项式的因式分解,通常会遇到形如“ax~2+bx+c”在指定的范围内能否再分解的问题。 那么,怎样才能知道一个多项式能否再分解因式呢?这是许多中学生所关心的问题。下面仅对形如“ax~2+bx+c”的二次三项式的因式分解问题加以讨论。     

有理域上的二元多项式变换

引进二元多项式变换的概念，旨在利用其CCP特性计算多维数字循环卷积，仿照一元多项式变换的研究方法，详细研究了二元多项式变换成立的条件。当模M1(z1),M2(z2)是可约多项式时，建立了有理域上二元多项式变换成立的5个充要条件和3个充分条件，并证明了这种变换具有循环卷积特性（CCP）。     

正定性与二次函数的最值及二元函数的极值

本文利用二次型理论给出了二次函数最值的一个充分条件及求法 ,定义了二元齐次多项式的正定性 ,并基于定义给出了二元函数极值的一个充分条件。     

正定性与二次函数的最值及二元函数的极值

本文利用二次型理论给出了二次函数最值的一个充分条件及求法,定义了二元齐次多项式的正定性,并基于定义给出了二元函数极值的一个充分条件.     

有一个内网点的多边形区域上的多项式样条函数光滑连接问题

应用光滑余因子方法,从多元样条空间的协调方程出发,研究具有一个内网点的多边形区域内不存在贯穿三角剖分条件下的两个二元二次多项式样条函数的光滑连接问题,给出了这样两个二元二次样条函数自然连接为一个二元二次样条函数的条件.并应用所得结论给出曲面光滑连接的一个例子.     

实系数二元二次多项式在R中可分解的条件及分解方法

多项式可以用多种方法来分解因式，但当次数较高或元数较多时，分解起来就很困难。本文就二元二次多项式可分解的充要条件进行了讨论，并给出了具体的分解方法。     

二元有限域上的n次不可约多项式

本文根据有限域Fq上n次不可约多项式的一些性质,进一步对二元有限域上的n次不可约多项式的几个性质进行了引入及证明.     

Eisenstein判别法的两种变通形式

多项式的可约性与多项式的因式分解有密切的联系,判断一个整系数多项式在有理数域上是否可约,有重要的Eisenstein判别法(以下简称E-判别法).即对整系数多项式f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_1x a_0,如果存在一个素数p,使P(?)a_n,P(?)a_i,(i=0,1,2,…n-1)但P~2(?)a_0,那么f(x)在有理数域上不可约,但对任意一个整系数多项式来说,满足E-判别法条件的素数P不总存在,因而它在有理数域上的可约性,不能完全由E-判别法本身所确定.例如x~2 1与X~2 3x 2都不存在满足判别法条件的素数P,但前者不可约而后者可约,本文给出E-判别法的两种等价形式,通过对f(x)适当变形,扩大E-判别法的适用范围.     

某些二元二次同余方程的解数

设p为素数,特别是当p为奇素数时,通过二元二次同余方程的等价变换,对模p的二元二次同余方程进行了等价分类,给出了各类二元二次同余方程的解数。     

关于不可约多项式性质定理的注记

本文对北京大学编《高等代数》中不可约多项式的两个性质定理给出四个注记,对教材内容作了必要的补充,注记4圆满地解决了不可约多项式f(x)的k重因式(k≥1)的判别条件。并且完整地加以证明。多项式理论以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容,不可约多项式是一等重要     

一类三次多项式微分系统的代数分类及其应用

利用Llibre的代数不变式理论,首先由二元二次和二元四次多项式的分类结果,对一次和三次齐次多项式微分系统进行代数分类,同时补充了已有结果中出现的漏洞;其次,由称共变张量空间的性质,对缺二次项的三次微分系统在保证轨线走向不变的前提下进行代数分类,使分类后同类系统的示性多项式有相同零点;最后通过讨论一类简单系统的有界性说明了分类的方便方处.     

一元多项式因式分解一般方法

通过研究一元多项式的因式分解,给出了给出了因式分解的两种方法。     

二元多项式变换及其判定定理

首次提出了二元多项式变换的概念，并建立了产生此二元多项式变换的几个充分必要条件。一般文献中常用的多项式变换可视为其特款。     

判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法

 提出了一个判定有限域上任一多项式是否为不可约多项式、本原多项式的高效的确定性算法。分析了多项式次数与其不可约因式之间的内在联系,给出了有限域上任意n次多项式是否为不可约多项式、本原多项式的一个充要条件。通过利用欧几里得算法,该判定仅需做O((log ₂ ⁿ)n³)次域上乘法,属于多项式时间,易于硬件实现。为扩频通信与序列密码寻找和利用不可约多项式构造线性反馈移位寄存器提供了一种有效算法。