余元公式及简单应用

欧拉积分的应用十分广泛,为此,探讨余元公式的一种证明及余元公式的简单应用.     

一类欧拉积分公式的计算方法及应用

研究考虑一类欧拉积分公式的计算问题,旨在对其实现简化证明。这类欧拉积分公式是成对出现的,可分别被看作复数的实部和虚部。首先通过应用复数的欧拉公式表示,转化一个含复参变量的广义积分形式,并采用对参变量的求导方法来建立常微分方程,通过求解此微分方程给出了欧拉积分的解析表达式,然后分别取实部和虚部来得出欧拉积分公式。接下来应用所得的欧拉积分公式,利用两无穷限广义积分交换次序,给出了一类广义积分的用实变方法的计算结果,还对相关几类广义积分的计算给出了统一的推导方法,并剖析了几类广义积分之间的相互联系。最后,揭示了Γ函数和欧拉积分公式的重要作用。     

关于欧拉求和函数的微分及应用

针对文献[1]中的一些重要结论,在Hurwitz zeta函数部分和的积分渐进公式研究的基础上,研究了欧拉求和函数的推广的微分问题.采用解析数论中函数和级数的积分方法,对于Hurwitz zeta函数部分和进行微分,得出了欧拉求和函数推广公式的一阶和二阶微分公式,即定理1和定理2,将其结论进行应用,推出了关于级数和积分...     

欧拉Γ函数的有关渐近公式

主要运用了欧拉γ函数的解析延拓性及有关γ函数的无限积表示结果,采用初等变换方法研究得出了有关γ函数的两个渐近公式,该公式理解为当s无限增大时γ函数的增长性起着重要的作用.     

运用欧拉公式求定积分

被积函数中含有三角函数，对这种积分往往要用到很多三角公式，而且灵活多变，难记，本文试图用欧拉公式将三角函数转化为复变量指数函数求定积分，减少公式记忆，降低难度。     

欧拉Г函数的有关渐近公式

主要运用了欧拉Г函数的解析延拓性及有关Г函数的无限积表示结果,采用初等变换方法研究得出了有关Г函数的两个渐近公式,该公式理解为当｜S｜无限增大时Г函数的增长性起着重要的作用。     

Gamma函数的欧拉反射公式的几种证法

利用正弦函数的无穷乘积展开和Gamma函数的无穷乘积表示,给出了Gamma函数的欧拉反射公式的一种证法;利用Beta-Gamma函数的级数表示和函数的傅里叶级数展开,给出了Gamma函数的欧拉反射公式的一种证法.     

Г函数、β函数的应用

Г函数、β函数是由世界著名数学家欧拉(Euler，瑞士，1707～1783)最先用积分定义的函数，又叫欧拉积分，在数学、物理和工程技术等方面都有广泛的应用．下面给出Г函数、β函数在数学方面的应用．     

用函数变换法求解二阶欧拉方程

通过“函数变换”将二阶欧拉方程降阶为可积的一阶线性微分方程,从而得到其积分形式的通解,还得到了一类非齐次欧拉方程特解的简单公式。该方法比用“自变量代换”法将欧拉方程转化为常系数线性微分方程进而求其解的过程更简单、更直接。     

关于Gamma函数延拓的探究

通过给出Gamma函数几种定义方式,分析研究它们之间的相互关系,并把余元公式推广到一般形式,对构造的公式(1),在复数域将其被积函数分解得2n个复根,在实数域将其实虚部积分取极限获证,对构造的公式(2),由(1)将其被积函数的连续性、收敛性及一致收敛性与构造的有理数列用变量替换代入取极限获证,再由(1)与(2)应用Gamma-Beta函数的另一形式及(3),得到了余元公式的实现。     

关于复数域上Banach空间上的向量值函数的一些注记

首先证明了取值于Banach空间上强连续的向量值函数是可积分的;然后用初等方法证明了向量值函数的柯西积分公式和高阶导数公式;最后讨论了取值于l^p（p≥1）空间上的向量值函数解析、可积、柯西积分公式和高阶导数公式与其各分量函数的关系和表示形式,并且给出了有限维赋范线性空间上的向量值函数连续、解析、可积、柯西定理、柯西积分公式和高阶导数公式与其各分量函数的关系和表示形式．     

关于复数域上Banach空间上的向量值函数的一些注记

首先证明了取值于Banach空间上强连续的向量值函数是可积分的;然后用初等方法证明了向量值函数的柯西积分公式和高阶导数公式;最后讨论了取值于l^p（p≥1）空间上的向量值函数解析、可积、柯西积分公式和高阶导数公式与其各分量函数的关系和表示形式,并且给出了有限维赋范线性空间上的向量值函数连续、解析、可积、柯西定理、柯西积分公式和高阶导数公式与其各分量函数的关系和表示形式．     

以广义函数论柯西积分

本用广义函数途径处理柯西积分。比较简捷地得到了柯西积分公式，证明了重要的柯西积分定理，推导出解析函数的高阶导数公式。     

Γ函数与B函数的性质及其应用

Γ函数与B函数是含参变量积分,它们统称为欧拉积分,在数学分析和概率统计中有着广泛的应用。本文系统论述了Γ函数与B函数的概念、性质、关系并给出了详细的证明,进而揭示出解决问题的关系和规律。     

菲涅尔积分的几种计算方法

考虑菲涅尔积分的多种计算方法的来源问题,介绍了通过引入收敛因子转化为二重广义积分计算的方法,并指出这种方法发现的思想来源。对菲涅尔积分和广义菲涅尔积分给出了利用广义积分交换次序定理的计算方法,没有通过引入收敛因子就解决了问题,方法自然且具有一般性。对一类欧拉积分公式,给出了对参变量求导的简便计算方法,指出了一类欧拉积分公式对广义菲涅尔积分计算的应用,发现菲涅尔积分、广义菲涅尔积分、狄利克雷积分都可以是一类欧拉积分公式的特例,沟通了这些积分之间的关系。     

空间中有界域上光滑函数的一种积分公式

在空间中引进了一系列实参数于是建立了一个新的单位分解并构造了一个抽象核函数,从而得到了有界域上光滑函数的一种新的积分公式,在公式中适当的选取参数,可以得到至今许多区域上光滑函数和全纯函数种种已有积分公式。     

C^n空间中界域一个积分公式的拓广

利用向量函数组W^1,W^2,…W^m-1以及互相独立的实参数组λ1，λ2，…λm-1证明了C^n空间有界域上光滑函数的积分表示公式，这个公式可以看为全纯域上著名积分公式在光滑函数上的拓广，通过适当选择其中的向量函数组和参数组可以得到C^n空间各种有界域上的积分表示分式。     

用复多值函数计算实积分的几个公式

本文用残数理论和实多值函数的有关知识出计算实积分的五个公式。     

欧拉应用分析于数论研究综述

扼要而又系统地综述了欧拉应用分析于数论研究的早期工作.其中有许多激动人心的数论公式与定理.例如,关于自然数方幂倒数的无穷和公式、关于Zeta函数的欧拉乘积公式、欧拉对4平方数定理的思考与证明,及其欧拉在解决这些问题的同时所创造的有关数论函数、分拆函数和理想数的概念等等.这些概念、定理或公式都是欧拉首先发现并加以精确论证的.与众不同的是,他善于把一个纯数论问题变换为一个分析问题,事实上欧拉的想法更具一般性.它足以展示欧拉的数学工作的深刻与广博.最后我们引述了欧拉发现的数论中几个著名的级数公式和二次互反性定律,它们都是欧拉在数论文库中留给我们的宝贵遗产.     

Cn空间中光滑函数的第Ⅰ型B—M公式

本文在有界域上全纯函数的第Ⅰ型B-M积分表示的基础上,进一步研究光滑函数的情形,相应得到有界域上一种有别于光滑函数Bochner-Martinelli公式的积分式,称之为有界域上光滑函数的第Ⅰ型B-M公式,这个公式的特点是积分密度函数中不再含有算子导数函数,而积分核中出现有n-1个任意固定点,并且积分核关于变量z是全纯的。