■(x)与C(x)的初等等价问题

Jensen在[1]中提出了一个问题:■(x)与C(x)是否初等等价,其中■是全体代数数构成的数域,C是复数域,■(x)与C(x)分别是■与C上的一个变数x的有理函数域。本文将利用共轭复数概念证明■(x)与C (x)不是初等等价的。为了叙述上的方便,以下设N,Q,■,C分别表示自然数集,有理数域,全体代数数构成的域,复数域;F(x)表示数域F上一个变数x的有理函数域。1■(x)与C(x)的初等等价问题为了证明主要定理,先列举一些有关的概念及引理。定义1 设F是一个数域,如果F■■_x■_Y■(x~2+Y~2=z~2),则称F是一个Pythagoras数域。     

递归定义与归纳证法

递归定义与归纳证法是数学中最基本、最原始的手段,它不象一般人所认为的那样只是自然数所特有的。本文通过揭示递归定义与归纳证法的实质表明它们是本质上不依赖于自然数的逻辑系统内的特征,因而也适用于许多非自然数的对象。     

求“祖冲之数组”的倍数法和指数法

[定义]若n个自然数中的任意m个数的积都能被这m个数的和整除,其中n≥m≥2,则称这n个自然数为(m-1)阶祖冲之数组。 这种数组的集合记为A_m(n)。例如: {15,30,60},{60,120,180}∈A_2(3) {45,90,180,360},{420,840,1260,1680}∈A_2(4); {504,10080,1512,2016}∈A_3(4)     

一类降序变换半群的秩

设自然数n≥3,Xn={1,2,…,n},证明了Xn上的一类降序变换半群Fn的理想Im#={α∈Fn:︱im(α)︱≤m}的秩rank(Im#)=(n-1 m-1).     

关于不定方程组a_2x~2-a~1y~2=a_2-a~1,a_3y~2-a_2z~2=a_3-a_2

构造性地证明了:当自然数a_1,a_2,a_3中任二数之积与1的和均为平方数时,标题所列之不定方程组常有异于平凡解x=y=z=1且合x~2≡1(mod a_1)之正整解存在.一个等价的说法是,对任给合条件“任二数之积与1之和均为平方数”的三个自然数a_1,a_2,a_3,均可觅得一自然数a_4,使得四数组(a_1,a_2,a_3,a_4)亦合前述条件.     

一种超限数的定义

这里给出一种超限数(无穷大数)的定义,借以说明大于实数的数的存在(无穷大数的存在),设N_0~(**)料为自然数集的基数,取N_0个位置如下:N即如数轴上正整数(自然数)点所在的位置:     

关于高可分拆数

设f(n)表示自然数n的乘法分拆数,若对一切自然数m,1≤m相似文献   

关于“完全归纳法原理”

在一般论著中建立自然数系,常按户Peano氏公理表述自然数系的特徵性质如下: PⅠ.1为一自然数。 PⅡ.在自然数集合中每数e皆有一确定的继数。 PⅢ.a~+≠1,即1不是任何数的继数。 PⅣ.若a~+=b~+,则a=b,即对每一个数,没有或恰有一个数以它作为继数。 PⅤ.完全纳归法原理:自然数的每一个集合,如果它含数1,且对所含的每数a又含其继数a~+,则它含所有自然数。 在公理系统P中起基本作用的是完全归纳法原理。由此可以直接推出“归纳证明”是合     

自然数幂次阶差猜想

笔者发现了一个自然数幂次阶差猜想。定义:自然数幂次阶差被定义为:D_(P;1)(N;M)=(N+M)~P-(N)~P,N=1,2...∞,M=1,2...∞,P=1,2...∞;(1.1)D_(P;i)(N;M)=D_(P;i-1)(N+M)-D_(P;i-1)(N),N=1,2...∞,M=1,2...∞,P=1,2...∞,i=2,3,...P.(1.2)其中N为自然数,M为两自然数N+M与N之差,P为自然数N+M与N之幂次。猜想:自然数幂次阶差猜想是:D_(P;P)(N;M)=P!×M~P,N=1,2...∞,M=1,2...∞,P=1,2...∞.(2)猜想的一些数值例子列于表2、表3和表4。自然数幂次阶差猜想等待被证明为定理。     

半群W_n~-中星理想的相关秩

设自然数n≥3,Wn-是有限链[n]上具有降序性的保序且压缩奇异变换半群,对任意的r(1≤r≤n-1),记K*-(n,r)={α∈W-n:|Imα|≤r}为半群W-n的双边星理想.通过对秩为r的元素和星格林关系的分析,确定了当1≤lr时,半群K*-(n,r)关于其星理想K*-(n,l)的相关秩.     

关于表3/n为单位分数的问题

这里,把分子为1分母为自然数的分数称为单位分数。我们称S个单位分数之和数为A_s数。如何将一个正有理数表成A_s数是一个很引人注意的问题。其中一个有趣的问题是:把3/n表成A_2数。总可以假定n>l,(3,n)=1,否则显然是一个A_2数。容易证明在n>l,(3,n)=1,时,使3/n为A_2数的充分必要条件是n具有形状为3u-1的自然数因子。     

论实数的构造

Ⅰ.一组关于正数的公理 1.试回忆一下皮亚诺(G,Peano)公理。据皮亚诺的研究(可参看),自然数可以用下列这一组公理来确定: Ⅰ.有一个自然数叫作1. Ⅱ.若n是一个自然数,则n+1也是一个自然数。 Ⅲ.若n是一个自然数,则n+1≠1. Ⅳ.若m与n都是自然数而又m+1=n+1,则m=n. Ⅴ.若一类自然数包含1,而且只要包含n也就包含n+1,则这一类自然数包含全体自然数。     

每个极大本质单边理想是GW-理想的环的强正则性

本文主要证明了下列条件等价:(1)R是强正则环;(2)R是J-左弱正则环,且R的每个极大本质左(右)理想是GW-理想;(3)R是CN-环,R的每个极大本质左(右)理想是GW-理想,且每个单奇异左R-模是YJ-内射模或平坦模.     

新自然数集与《数系理论》的改革问题

《中华人民共和国国家标准@物理科学和技术中使用的数学符号(GB3102.11-93)》对表示自然数集的符号N作出新的规定N=|0,1,2,…|,即0也是自然数.对于以 Peano自然数公理系统为基础的<数系理论>课程,本文对于在新自然数体系下如何建立与之相应的自然数公理系统及其有关性质进行了比较全面的讨论.并在教学上作出了一些有益的探索.     

多變數幂級數的單變數化變换系統的正常性

1.问题的说明一个形式上的m个複變數z_1,z_2,…,z_m的幂级数F=F(z_1z_2,…,z_m)=sum from i_1,i_2,…i_m=0 to ∝ a_(i_1,i_2,…,i_m) z_1~(i_1)z_2~(i_2)…z_m~(i_m)经过一个变数变换 T_α:z_i=α_it,α_i是複数,i=1,2,…,m以後可以表示做一个形式上的单个复变数t的幂级数 T_αF=F_α(t)=sum from n=1 to ∝t~n sum from i_1+i_2+…+i_m a_(i_1,i_2,…,i_m α_1~(i_2)α_2(i_1)…α_m(i_m)。T_α叫做一个单变数化变换。     

半群W_D(n,r)的非群元秩和相关秩

设自然数n≥3,RCDOn是有限链[n]上的正则保反序且压缩奇异变换半群.对任意的r(1≤r≤n-1),记W_D(n,r)={α∈RCDO_n:|Im(α)|≤r}为半群RCDO_n的双边理想.通过对其非群元和格林关系的分析,分别获得了半群W_D(n,r)的极小非群元生成集、非群元秩和非幂等元秩.进一步确定了当1≤l≤r时,半群W_D(n,r)关于其理想W_D(n,l)的相关秩.     

关于双因子数的两个问题

众所周知:其中π(n)表示不超过n的所有素数的个数。 素数实质上是单素因子之数。在自然数序列中,还存在这样的数,它仅只有两个素因子,我们称此种数为双因子数,例如:4=2·2,6=2·3,9=3·3,10=2·5,15=3·5等。 我们用π_2(n)表示不超过n的所有双因子数的数。现在要问:     

关于自然数的定义

自然数,从基数的角度看,它是一切相互等价(对等)的非空有限集合的共同特征。从序数的角度看,则有定义1.设N是一个非空的集合,它的元素叫自然数,(以下简称数),如果对于N中某些元素a与b存在着关系:“b是a的后继者”,(a的后继者记作a'),并且满足下列公理:     

任意理想都是直和项的环

众所周知,Wedderburn—Artin定理给出了Artin半单环的结构一个最深刻的刻划,且由Wedderburn—Artin定理可知:对于Artin半单环它的任何理想都是它的直和项,任何同态象也是它的直和项。在此,我们有更一般的结果: 定理1 下列命题等价: (1)环A的任一理想都是其直和项; (2)环A的任一同态象都是其直和项; (3)环A是一些弱单环的直和; (4)环A中任一真理想都不是本质理想。推论下列命题等价:     

半群W(n,r)的极大(正则)子半群

设自然数n≥3, RW_n是有限链［n］上的正则保序且压缩奇异变换半群。对任意的r(1≤r≤n-1), 记W(n,r)={α∈RW_n:|Im(α)|≤r}为半群RW_n的双边理想。通过对秩为r的元素和格林关系的分析, 获得了半群W(n,r)的极大(正则)子半群的完全分类。