Burgers方程的跳点紧致格式

Burgers方程是流体力学中非常重要方程.通过Hopf-Cole变换可以将Burgers方程转化为抛物型方程,把为Burgers方程构造一种高精度的、高效率的数值格式的问题变成了为抛物型方程构造一种新格式的问题.新格式以等价于Du Fort-Frankel格式的跳点格式为基础,引入高阶紧致格式的思路以提高跳点格式的收敛阶,称新格式为跳点紧致格式.此格式既保持了跳点格式计算效率高、占用内存少、无条件稳定的优点,又将空间方向收敛阶由2阶提高到了4阶.最后,数值算例验证了跳点紧致格式在空间方向收敛阶是4阶的.     

一种求解欧拉方程的高精度数值格式

为了优化加权本质无振荡(weighted essentially non-oscillatory, WENO)格式在流体力学中的计算性能,在WENO-JS格式和WENO-M格式加权方法研究分析的基础上,基于广义不可分差分算子推导出新局部光滑因子,构造出WENO-NS格式。将总能对流迎风和分压(E-CUSP)格式与七阶WENO-NS格式耦合得到新格式。在空间层上,采用七阶WENO-NS格式重构低耗散E-CUSP格式中的通量;在时间层上,采用四阶总变差递减的龙格-库塔(total variation decreasing Runge-Kutta, TVD-Runge-Kutta)方法推进,对一维激波管问题进行了数值模拟。观察可得,耦合的E-CUSP-WENO-NS7对接触间断和激波的捕捉更为精确。结果分析表明,耦合的新格式可以更陡峭地捕捉到激波,计算结果精度高,稳定性能好。     

分数阶随机微分方程的修正隐式数值格式

对H>1/2且随机积分为前向积分的分数阶布朗运动驱动的随机微分方程,为改善显式Euler格式和Milstein格式的稳定性,基于修正隐式技术构造了修正隐式Euler格式和Milstein格式,证明了修正隐式格式较显式格式有更大的稳定步长集,且在一定条件下修正隐式Euler格式是A稳定的.数值模拟显示,步长在稳定步长集内时数值格式稳定,步长在稳定步长集边界附近时误差几乎不改变,而步长在稳定步长集外时数值格式极度不稳定,从而验证了修正隐式格式在保持数值稳定性上的优越性和稳定步长集的合理性.     

满足抑制波动原则的五阶精度紧致格式

高精度、高分辨率计算格式的研究对于准确模拟多尺度复杂流动现象具有非常重要的意义。该文采用待定系数的方法,通过推导修正方程式构造了一个满足抑制波动原则和稳定性原则的五阶精度的五点紧致格式。另外还采用了时间相关的边界处理方法,以保证边界点上也满足抑制波动原则和稳定性原则。一维激波管问题和二维平板激波反射问题的考核结果表明,该文构造的格式和边界处理方法能够有效抑制整个流场包括边界附近虚假的非物理数值波动,利用修正方程式来构造能够捕捉激波的新型紧致格式是一条发展高精度格式的可取之路。     

线性传输方程的Entropy-Monotone格式

在守恒律方程组的数值计算中,线性间断的磨损问题备受关注.为了减少线性间断的磨损,针对线性传输方程,提出了Entropy-Monotone格式.该格式属于Godunov型格式,包括重构、发展和求网格平均3个步骤.与传统的Godunov格式不同,该格式同时计算数值解和数值熵,并通过它们构造分片常数的台阶函数.数值实验表明,此格式对线性间断的模拟非常有效.     

实矩阵复特征值的一种迭代格式

本文建立一种求实矩阵复特征值的一种牛顿迭代格式.一方面避免了复运算;对单重复特征值还具有局部2阶收敛率.此外对收敛区域作了估计.如果利用修正牛顿法,原则上可以达到任意m阶的收敛率.     

三对角四阶跳点紧致格式优化和初步应用

 根据修正波数应在充分大的波数范围内接近准确波数的思想,构造了优化的3对角4阶跳点紧致差分格式及插值格式.优化跳点紧致格式仍然具有4阶精度,但提高了分辨率,能够在更大的波数范围内保持群速度特性.通过实验数据表明,优化跳点紧致差分格式的分辨率可达到0.86π,优化紧致插值格式可达0.63π,可较好保持群速度的最大波数为0.75π,均大于标准4阶和6阶跳点紧致格式.分别用优化格式,标准4阶和6阶跳点紧致格式计算小尺度波动的性能,结果表明优化格式在模拟小尺度波动,在减小计算误差并保持群速度方面具有明显优势.     

双曲型线性方程三阶和四阶TVD格式的新构造

利用Taylor级数理论和总变差减小(TVD)格式的充分条件构造了时间二阶、空间五点三阶和四阶新TVD格式．给出了新TVD格式与传统TVD格式及近期建立的二阶新TVD格式用于线性双曲型方程的计算结果，表明本文新格式特别是四阶TVD格式具有比二阶新TVD格式和传统TVD格式峰值衰减更慢、间断更陡，而计算工作量具有与传统二阶TVD格式相当的良好数值性能．     

实矩阵复特征值的一种迭代格式

本文建立一种求实矩阵复特征值的一种牛顿迭代格式。一方面避免了复运算;对单重复特征值还具有局部2阶收敛率。此外对收敛区域作了估计。如果利用修正牛顿法,原则上可以达到任意m阶的收敛率。     

椭圆型方程两点边值问题的混合型高精度紧致差分格式

【目的】针对一维椭圆型两点边值问题,发展一种六阶混合型高精度紧致差分格式。【方法】主要利用泰勒级数展开和组合紧致差分格式(Combined compact difference,CCD)的思想,将未知函数和它的一阶导数、二阶导数作为未知变量,利用函数和各阶导数之间的固定关系,将原方程对一阶导数泰勒级数展开式中产生的三阶导数项进行替换,同时也利用了一阶导数和二阶导数的六阶组合紧致格式。它的特点是显式紧致差分格式和隐式紧致差分格式混合在一起。【结果】最终使得混合型紧致差分格式整体达到了六阶精度。此外,提出的格式还具有推导简便,易实现编程,且能直接推广到高维问题的优点。尽管格式是六阶精度,但与四阶精度格式一样,空间方向仅仅需要3个网格点,因此由格式生成的方程组可采用追赶法进行高效求解。【结论】最后通过对具有精确解的4个算例进行数值实验,数值结果验证了该格式的精确性和可靠性。     

圆域上2阶奇异变系数问题的一种有效的差分法

针对圆域上2阶奇异变系数问题,提出了一种基于降维格式的有限差分方法.首先,利用极坐标变换,将原问题转化为一系列等价的1维问题; 其次,针对每一个1维问题,建立了适当的差分格式,并证明了相应的误差估计; 最后,给出了一些数值例子,数值结果表明该算法是非常有效的.     

正则化长波方程孤立波的数值模拟

构造了求解正则化长波方程的一种Fourier－Galerkin－CenterEuler全离散格式，该格式具有质量与能量守恒性质和保持原微分方程结构等优点．证明了半离散和全离散格式解的存在唯一性，并得到误差估计式．此外，给出了两个数值例子，使用文中提出的全离散格式成功地模拟了单孤立波的传播和双孤立波的碰撞过程．     

求解随机微分方程几类数值计算格式的分析

讨论随机微分方程的几类数值计算格式,构造了求解非线性随机微分方程隐格式的预估校正算法,并利用这些数值算法进行了数值实验,分析比较了各种格式的平均全局误差.数值结果表明,Euler方法和Milstein方法的显格式和半隐格式的计算精度比隐格式高.     

拟线性奇异摄动问题的数值解

对一类拟线性奇异摄动问题的数值解,提出了一种差分格式,并证明了差分方程的解是关于小参数及变量一致收敛到原问题的精确解。这种格式既能保证原解的大梯度变化的性质,又能节省计算时间,因而具有一定的理论与应用价值。     

数值求解纳米尺度热传导分数阶抛物两步模型

提出一个纳米尺度的分数阶抛物两步模型,得到金属纳米尺度热传导的精确数值格式.该模型是通过引入Caputo-Hadamard时间分数阶导数到抛物型两步能量输运方程中,并将其温度跃变边界条件耦合得到.数值格式基于空间四阶紧格式和Caputo-Hadamard时间分数阶导数的L1逼近格式而建立.通过2个算例验证模型和数值方法的准确性和适用性.     

2-维Ginzburg-Landau方程H~1-Galerkin有限元方法的高精度分析

采用非协调单元EQ~(rot)_1及零阶Raviart-Thomas元(EQ~(rot)_1+Q_(10)×Q_(01)),对2-维Ginzburg-Landau方程讨论了一种H~1-Galerkin混合有限元方法.在半离散和线性化Euler全离散格式下,分别有技巧地导出了原始变量u在H~1模意义下及流量■在H(div;Ω)模意义下的超逼近性质.最后,给出两个数值算例验证了理论结果.     

一种适合于云南低纬高原中尺度数值模式的增湿系数方案

从增湿系数的角度设计了多种试验方案对Kuo型方案进行改进,数值试验结果表明,增湿系数采用指数型定义法方案较为适合云南低纬高原上的中尺度数值模式。     

基于特征线的变步长网格划分法

本文首先讨论了用特征线法求解常系数双曲型偏微分方程的解析解,分析了以特征线法为依据构造的几种经典差分格式并给出了数值计算结果,通过分析误差得到最优网格比,结合特征线法提出了变系数双曲型方程的变步长网格划分的数值解方法及数值计算结果。     

稳态不可压流计算方法在稳恒电磁场中的应用

从流体力学和电磁学的相似性出发,揭示了稳态不可压缩流体流动方程、稳恒电场方程和稳恒磁场方程在数学表达上具有相似性,均可用对流项,扩散项和源项来表达.而且在数值求解中也存在类似规律,可利用计算流体力学中对对流项和扩散项的处理方法来处理电磁场方程中的对流项和扩散项.通过分析上(下)风格式与向前(后)差分格式的数学意义和物理意义,提出采用上风格式和下风格式能求解电荷运动问题,而上风格式能求解流体力学问题.     

Rosenau-RLW 方程的加权守恒差分格式

本文对Rosenau-RLW方程初边值问题的数值解法进行了研究,提出了一个三层的加权差分格式,该格式较好地模拟了方程的守恒性质.然后本文讨论了差分解的存在唯一性,给出了差分解的先验估计和误差估计,并利用能量方法分析了该格式的二阶收敛性、无条件稳定性.数值算例验证了格式的可靠性,并且适当调整加权系数还可以提高计算精度.