关于二元函数极限求法的探讨

在二元函数 Z=f(x,y)的极限问题中,自变量的变化情况较一元函效复杂得多。因为 f(x,y)的定义域是 XOY 平面上的一个区域,动点(x,y)趋于定点(x_0,y_0)的路径可以是多种多样的。只有当动点(x,y)沿着任意路径趋于定点(x_0,y_0),函数 f(x,y)总是趋于某数 A 时,才能称A 为 f(x,y)当 x→X_0,y→y_0时的极限。因此二元函数的极限比一元函数的极限复杂且难求。本文总结了计算二元函数极限的方法,并通过例题作出一些说明。     

链式法则的一个证明

复合函数求导的链武法则是:设函数 u=(?)(x)在点 x_0处可导,y=f(u)在点 u_0(u_0=(?)(x_0))可导,则复合函数 f_0(?)(x)在点 x_0可导,且(f_0(?))′(x_0)=f′(u_0)(?)′(x_0)。对于这个法则,我们给出一个新的证明。为此先引入两个引理。定义设 E(?)R。f在 E 上有定义,x_0。∈(?)((?)是 E 的闭包),如果存在常数 l,对于任给ε>0,存在δ>0,当x∈(x_0-δ,x_0+δ)∩E-{x_0}时,恒有 f(x)∈(l-ε,l+ε),则称 f 在x_0关于 E 有极限 l。记作 l=(?)f(x)。     

康托定理的另一证明

数学分析中康托(G.Cantor)定理的证明有多种,现讨论另一直接证明.为清楚起见,先叙述一下定义.设f(x)是区间X上的连续函数,X_0为X内一点.对ε>0,由于f(x)在X_0点连续,所以有δ=δ(ε,x_0)>0,当|x-x_0|<δ时,恒有|f(x)-f(x_0)|<ε,这里的δ是“ε和x_0的函数”.当ε>0给定后,固定点X_0换为X内的另一点时,正数δ也会发生变化的.对每个给定的点X_0,都相应地有一个δ(ε,x_0)>0,当x_0遍取X内的一切点时,便得无穷多个δ.在这无穷多个δ中,是否有一个可公用的δ(即大于零的下界)对所讨论的区间都适用?如果有的话,我们就说f(x)在X是一致连续的.因此有     

关于δ样条函数逼近δ函数的定理

本文得到了以δ-样条逼近δ-函数的普遍结果。它阐明在[1]文意义下的逼近与节点和f(x)的间断点的相对位置有关。其主要结果如下。设函数f(x)连续于[a,b]或只有第一类间断点。若把f(x)以b-a为周期延拓到(-∞,∞)则其中,当x_0→x,…,x_0→x时 a_i→0 (i=1,2,3)     

对函数极值的定义和极值点充分条件的一点看法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》(第三版)是目前工科院校广泛使用的一种教材,该教材中对于函数极值是如下定义的: 设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x_0是(a,b)内的一个点。如果存在着点x_0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x_0外,f(x)f(x_0)均成立,就说f(x_0)是函数f(x)的一个极小值。     

一个奇怪的“定理”和 1''''Hospital法则的证明

通常的分析教科书(如等)关于l′Hospital法则的证明如下: 定理1 设函数f,g在x_0的一个忘我邻域U上处处可以微分,而且,g‘(x)恒不为0;lim f(x)=lim g(x)=0;x→x_0 x→x_0(*)存在(有限或无限)。那么, 证 补充定义f(x_0)=g(x_0)=0。由Cauchy中值定理,对任意的x∈U,     

齐次函数极限存在与可微性判别法

文[1]、[2]给出了二元齐次有理分式函数在原点的极限存在判别法。本文把它们推广到一般n元齐次函数。在此基础上给出齐次函数在原点可微性判别法。下面讨论的齐次函数采用如下定义: 设函数f(x)(X=(x_1,x_2,…x_n))在点集上有定义。若对任意实数t≠0恒成立等式f(tX)=t~mf(X),则称f(X)为m次齐次函数。这里m可以是任意实数,并假定D如果含有点X也必含有t>0的一切点tX。我们下述极限定义: 设f(X)是定义在D上的函数,A是实数。若任给ε>0,存在δ>0,使当     

有穷导数与无穷导数的一些性质

数学分析对有穷导数(导数)与无穷导数都有说明,本文将深入探讨它们的一些性质,且比较它们的同、异性,得到如下的结果。定理1 设f(x)在O(x_0,Δ)(Λ∈R~+)中有定义,f′(x_0)=+∞(或-∞),则 (ⅰ)在点x_0,f(x)不一定连续(与有穷导数不同)。 (ⅱ)δ>0(δ<Δ),使x∈(x_0—δ,x_0)时,f(x)f(x_0));x∈(x_0,x_0+δ)时,f(x)>f(x_0)(或f(x)相似文献   

无穷小量的阶与一道极限题的初等解法

关于同阶无穷小量的概念,在数学分析教材中通常出现两种不同的定义。第一种定义是:设x→x_0时,f(x)与g(x)均为无穷小量,如果存在正数K与L,使得在x_0的某空心邻域内,有K≤|f(x)/g(x)|≤L,则称当x→x_0时,f(x)与g(x)同阶无穷小。例如华师大数学系     

复合函数求导数法则的证明的改进

设y=f(u),u=φ(x),u在x_0可微分;u_0=φ(x_0),y在u_0可微分,则复合函数y=f(φ(x))在x_0可微分,而且(1) dy/dx|_(x=x_0)=f′(u_0)·φ′(x_0)。这个复合函数求导数法则的证明,在通常的数学分析教科书上,有如下两种: 〔证法一〕给x从x_0起取增量△x(≠0),则相应地函数u从u_0起得增量△u,y从f(φ(x_0))起得增量△y。因为f′(u_0)存在,所以当△u≠0时,令α=△y/△u-f′(u_0),就有limα=0,而且 △u→0     

判定曲线凹凸和拐点的另一种方法

现行教材中一般采用以下方法来判定曲线的凹凸与拐点:设函数 f(x)在点 x_0的一个邻域内具有一阶和二阶导数,且 f″(x_0)=0.1)如果当 x 取 x_0左侧邻近的值时,f″(x_0)恒为正;当 x 取 x_0右侧邻近的值时,f″(x_0)恒为负,那末(x_0,f(x_0))是曲线的拐点,曲线由凹变凸;     

关于方程y＇=f(x,y)解存在的一个定理

本文证明了在以下条件: 若f(x,y)是区域D:|x-x_0|≤a,|y-y_0|≤b上的函数,并且|f(x,y)|≤M,当固定x,y∈[y_0-b,y_0+b]时,f(x,y)是y的左连续递增涵数;当固定y,x∈[x_0-a,x_0+a]时,f(x,y)是x的递增涵数时,那么(E)在(?){a,b/M}上有递增函数解。     

关于一类二次系统的极限环的存在性

只含一个有限远奇点的(Ⅱ)类方程形如文[1]证明,当αlδ>0,|δ|<|l/α|<1时,则(1)存在极限环.本文证明了:定理1 当|δ|<|1/α|<2时,系统(1)至少存在一个极限环.     

应用初等方法讨论函数的单调性

定义对于函数f(x),若在其定义域的某个区间M上任意取两个数x_1,x_2,它们对应的函数值分別为f(x_1),f(x_2), (1)如果当x_1f(x_2),则称函数f(x)在区间M上是严格递減的; (4)如果当x_1相似文献   

分数次积分算子的弱型极限行为

将分别建立当λ→0和λ→+∞时,分数次积分算子的弱型极限行为.具体来说:对于任意的f∈L1(Rn),有下面2个等式成立,limλ→0λ|{x∈R~n:|I_αf|λ}|~((n-α)/n)=v_n~((n-α)/n)‖f‖1,limλ→+∞λ|{x∈R~n:|I_αf|λ}|~((n-α)/n)=0.     

亚纯函数特征的一个性质

本文证明了亚纯函数的一个性质:设b_1、b_2,…是亚纯函数f(z)的极点,|b_1|<|b_2|<…,假设(1)有0<δ_0<1/2,使得对充分大的v,当|b_v|≠|b_(v+1)|时,|b_(v+1)|-|b_v|≥δ_0(|b_0|+1)(2) (3)则对任意小的δ>0,存在R_0(δ)>0,当δR>R_0(δ)时,μ(E_R)≥R~δ其中μ为面积测度E_R={Z;R<|z|<2R,log|f(z)|+N(|z|)>1/2T(R)}     

剖析复合函数的极限运算

探讨了复合函数中的极限符号与函数符号能否交换次序的问题，阐述了limx→x0f[φ(x)]、f[limx→x0φ（x）及limu→u0f(u)三者的差异。     

極限的另一个說法

极限的古典式的定义,卽所谓ε—δ式定义,无疑是正确无讹的,但是对初学者说来,却是比较难懂的。为了使得初学者易懂一些,有些书把“函数的极限”归结到“数列的极限”,即采用定义: 如果对於任何数列x_n,只要x_n→a(或∞)并且x_n≠a时恒有f(x_n)→b,则说x→a(或∞)时,f(x)→∞。但是讨论数列的极限时,又要用到“ε—N”式的定义,这定义就本质上说,与ε—δ     

α-调和函数在边界点的λ-细极限

R.A.Hunt和R.L.Wheeden在[1]中证明:Euclid空间R~P(P≥2)里一个Lipschitz域G上的非负调和函数f(x),若在一点x_0∈G有细极限,则必有相等的不相切极限。当P=2时,作者曾把这一结果推广到一般区域上的一般调和函数。本文将[1]的上述成果推广到非负α调和函数(0<α≤2,当α=2时,即为调和函数),同时去掉G是Lipschitz域的限制。 另一方面,[1]中证明。若Lipschitz域G上的函数f(x),在EG上每一点有有限的不相切极限,则在E上关于调和测度ε_y~1。几乎处处有细极限。本文把这一结果推广到对于     

邻域与区域等势性的两种证法

设Δ是一个集合,Δ上满足下述条件的子集族D称为Δ的一个邻域: 1° Δ∈D; 2° 如果X,Y,Z∈D且Z巨X∩Y,那么X∩Y∈D。 邻域D中的理想元素是满足下述条件的x巨D: 1° Δ∈x; 2° X,Y∈x时必有X∩Y∈x; 3° 只要X∈x,XY∈D,就有Y∈x。 所有这样的元素组成的集合称为区域(或论域),记为。对于邻域D,我们还记并设|A|为集合A的基数。 定理 如果|D|<∞,则有。 证明:令我们先证明作这是一个一一对应。事实上,只须证明:对任意的x_1,x_2∈(?),当x_1≠x_2时minx_1≠minx_2。若不然,即X_1≠x_2时,minx_1=minx_2,那么对x_1中任取的X元,存在X′∈minx_1使得。因为X′∈x_2,所以由中元素的定义就有X∈x_2。这就是说。同样可证,于是,φ是一个单射。很明显,φ还是映上的,所以φ是一个一一对应。由此就