唯一偶泛圈图的一个定理

设G是一个偶图,u是偶数且是G的阶,若对每个偶数t,4≤t≤v,G恰有一个长为t的圈,则称G是唯一偶泛圈图（简称UB－图）。作者证明恰有6个v 4条边的UB－图。     

关于图的泛连通性的几个结果

如果对ａ≤ｉ≤ｂ，图Ｇ的任一对顶点ｕ、ｖ都存在长为ｉ－１的路Ｐｉ（ｕ，ｖ），则称Ｇ是［ａｂ］－泛连通的．文中证明了关于图的泛连通性的下述结果：设Ｇ为ｎ阶连通图，且对Ｇ中任一对距离为２的顶点ｕ，ｖ，有ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）≥ｎ，则图Ｇ是［５ｎ］－泛连通的当且仅当Ｇ是Ｈ连通的．此结果推广了Ｆａｕｄｒｅｅ和Ｓｃｈｅｌｐ的一个结论．     

点泛圈偶图

设Ｇ是连通偶图，（Ｘ１，Ｘ２）是其顶点的二分类，｜Ｘ１｜＝｜Ｘ２｜＝ｎ，δ（Ｇ）≥ｔ≥３，且对于Ｘｉ中的任意两点ｕ和ｖ，均有｜Ｎ（ｕ）∪Ｎ（ｖ）｜≥ｎ－（ｔ－２），ｉ＝１，２，文中对ｔ≤６的情况，证明Ｇ是点泛圈偶图。     

一类OF图及其泛连通性

设Ｇ为ｎ阶连通图，且对Ｇ中任一对距离为２的顶点ｕ、ｖ，有ｄ（ｕ）＋ｄ（ｖ）≥ｎ，则称Ｇ为ＯＦ图．本文讨论了ＯＦ图的泛连通性，主要得到下列结果：设Ｇ为ｎ阶ＯＦ图，则Ｇ为下列三类图之一：（１）Ｇ是［５ｎ］－泛连通图（２）Ｈ＋；（３）Ｋｍ＃Ｋｎ－ｍ＋２及其部分支撑子图，其中３≤ｍ≤ｎ－１，｜Ｖ（Ｈ）｜＝．     

包含Vr（G）中所有顶点的圈

设Ｇ是一个ｎ阶２－连通图，ｒ是实数，并且，令Ｖｒ（Ｇ）＝｛ｖ∈Ｖ（Ｇ）｜ｄ（ｖ）≥ｒ｝．我们用Ｇ［Ｖｒ］表示由Ｖｒ（Ｇ）诱导的Ｇ的子图，ａ（Ｇ［Ｖｒ］）表示Ｇ［Ｖｒ］中的最大独立点数，σｋ（Ｇ）＝ｍｉｎ是Ｇ中的独立集｝．我们证明了如下结果，如果，则图Ｇ存在一个圈包含Ｖｒ（Ｇ）中的所有顶点．这个结果推广了Ｖｅｌｄｍａｎ的一个最新结果．并且解决了由朱永津教授提出的问题．     

X-最长圈的下界估计

设Ｇ是连通图,Ｘ＝Ｖ（Ｇ）,Ｇ〔Ｘ〕是Ｇ的Ｘ生成子图,记σｋ（Ｘ）＝ｍｉｎ｛Σｉ＝１ ｋ ｄ（Ｖｉ）;｛ｖ１,ｖ２,…,ｖｋ｝是Ｇ〔Ｘ〕的顶点独立集｝,得到如下结果,对于ｎ阶的１－坚韧图（ｎ≥３）,Ｘ＝Ｖ（Ｇ）,且σ３（Ｘ）≥ｎ＋ｒ≥ｎ,３│Ｘ│－２ｎ≥８ｔ－６ｒ－１７,则存在一个圈Ｃ满足│Ｃ（Ｘ）│≥｛Ｃ（Ｘ）│≥｛│Ｘ│,│Ｎ（Ｉｔ）∩Ｖ（Ｃ）│｝,其中Ｉｔ是Ｘ中ｔ个顶点的独立集。     

点泛圈偶图的一个充分条件

设Ｇ是连通偶图,（Ｘ１,Ｘ２）是其顶点的二分类,｜Ｘ１｜＝｜Ｘ２｜＝ｎ,δ（Ｇ）≥ｔ≥３。证明了若任意ｕ,ｖ∈Ｘｉ蕴含｜Ｎ（ｕ）∪Ｎ（ｖ）｜≥ｎ－（ｔ－２）,ｉ＝１,２,则当ｔ＝７时Ｇ是点泛圈偶图。     

领域并与点泛圈偶图

设Ｇ是连通偶图，（Ｘ１，Ｘ２）是其顶点的二分类，│Ｘ１│＝│Ｘ２│＝ｎ，δ（Ｇ）≥ｔ≥３。证明了若任意ｕ，ｖ∈Ｘｉ→│Ｎ（ｕ）∪Ｎ（ｖ）│≥ｎ－〔ｔ－１／２〕，ｉ＝１，２，则Ｇ是点泛圈图。     

关于Faudree－Schelp定理的改进

一个图Ｃ＝（Ｖ，Ｅ）是［ｌ，ｍ］－泛连通的，如果在Ｇ的任意一对节点ｘ与ｙ之间有长为Ｋ—１的路Ｐｋ（ｘ，ｙ），Ｋ＝ｌ，ｌ＋ｌ，…，ｍ。Ｇ具有性质Ｐ（Ｋ），如果对Ｇ的任何一对距离为２的节点ｘ和ｙ，有ｄ（ｘ）＋ｄ（ｙ）≥Ｋ。作者探讨了一类产（Ｋ）图的路连通性，改进了Ｆａｕｄｒｅｅ－Ｓｃｈｅｌｐ定理，得到两个定理：定理１设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶Ｐ（ｎ—１）图。如果Ｇ是［ｎ—１，ｎ］－泛连通的，则Ｇ是［８，ｎ］－泛连通图（ｎ≥８）．定理２设Ｇ是３－连通ｎ阶Ｐ（ｎ）图。如果Ｇ的独立数α（Ｇ）＜ｎ／２，则Ｇ是［５，ｎ］－泛连通图，ｎ≥５．     

邻域并和[A,B]—覆盖图

设ａ≤ｂ是整数，Ｇ＝（Ｖ（Ｇ），Ｅ（Ｇ）是一个图。Ｇ的一个支撑子图Ｆ称为Ｇ的一个［ａ，ｂ］－因子，若对任意的υ∈Ｖ（Ｇ）有ａ≤ｄＦ（υ）≤ｂ，图Ｇ称为是［ａ，ｂ］－覆盖图，若对Ｇ的每一条边，存在Ｇ的一个［ａ，ｂ］－因子包含它。本文给出了一个图的［ａ，ｂ］－覆盖图的关于领域并的充分条件，得到了下列结果：设１≤ａ〈ｂ是整数，Ｇ是一个阶为ｎ的图，最小度δ（Ｇ）≥α且ｎ≥２（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ－１）１／ｂ如     

3－W_n图的优美性

证明了在齿轮图ｎ个齿的顶端各加上三条长度为１的边所得的图是优美的，从而对齿轮图的优美性作了推广．     

关于Km，n并图的优美性

对于自然数k，m，n，本文给出一类非连通图↑k∪↓i=1Kmi.ni；通过构造标号函数的方法，证明了当max{mi，ni}≥3，min{mi，ni}≥2(i=1，2，…，k)时这类图既是优美图，也是交错图；从而给出构造一类任意个图的并图是优美图的一种方法，拓宽了优美图及其应用的道路。     

图U∧C_(4,m_i)from i=1 to n的优美性

优美图是图论中的一个重要分支,至今对非连通优美性的研究并不多,特别是对n个图的并图的优美性研究就更少.本文证明了一类任意n个二分图∧C4,m的并图4,1inmiC=U∧是优美图,且是交错图.     

再论图Pn^3的优美性

给出图Pn3的另一种优美标号,证明其图是优美图且是交错图.另外指出文献[1]中的一个错误和给出了相应正确的结果,同时证明了严谦泰,张忠辅给出的标号以及我们改正的标号都是交错的.     

任意n个完备二分图的并图的优美性

优美图是图论中的一个重要分支,至今对非连通优美性的研究并不多,特别是对n个图的并图的优美性研究就更少.本文证明了任意n个完备二分图的并图是优美图,且是交错图.     

一类串图的优美性

给出了一些图的优美标号,特别给出了串图ωm1,m2,mn,mn＋1当m1,m2,…,mn≡0（mod4）,mn＋1≡3（mod4）的优美标号,以及串图ωm1,m2,,m2n当mi≡2（mod4）（i=1,2,…,2n）,m2k-1＜m2k,（k=1,2,…,n）时的优美标号.     

图∪ from i=1 to n(F_(mi,4))的优美性

给出图∪ni=1Fmi,4 的一类非连通图 ,并证明这类图是优美图 ,且也是交错图 .     

Hamilton图的代数刻划

运用矩阵方法,给出了连通图是Ｈａｍｉｌｔｏｎ图的一个代数刻划     

关于图n∪i=1(～P)4和n∪i=1(～P)8的优美性

棱柱图(～P)n是由2个回路v1,v2,v3,…,vn和u1,u2,u3,…,un,加上边uivi后所组成的图形.图n∪i=1(～P)4是n个(～P)4的不交并图,图n∪i=1(～P)8是n个(～P)8的不交并图,证明了2类非连通图n∪i(～P)4和n∪i=1(～P)8是优美图且是交错图.     

关于图∪（i=1）n4和∪（i=1）n8的优美性

棱柱图n是由2个回路v1,v2,v3,…,v n和u1,u2,u3,…,un,加上边uivi后所组成的图形.图∪ni=14是n个4的不交并图,图∪n i=18是n个8的不交并图,证明了2类非连通图∪n i=14和∪n i=18是优美图且是交错图.