矩阵的初等变换及其应用

本文主要探讨矩阵初等变换在把矩阵化为等价标准形、求逆矩阵、求解矩阵方程、解线性方程组等方面的应用。     

矩阵初等行变换的应用

矩阵初等变换包括初等行变换和初等列变换,是一种非常重要的方法。它使用方便,应用广泛,在线性代数中可以求矩阵的秩,求逆矩阵,化矩阵为标准形,解线性方程组,解矩阵方程和判断向量组的线性相关性。1 解矩阵方程大多数工科线性代数教材中的矩阵方程,经过简单的线性运算之后,都可化为下列3种类型之一:AX=B,XA=B,AXB=C,(其中A、B、C为已知矩阵,X是未知矩阵)。下面以AX=B型为例进行讨论。     

一次同余式组的矩阵解法

利用矩阵的初等变换,将同余式组的系数矩阵的某一行化为(1,x 0)的形式,便可求出其解x≡x 0(modM),从而给出了一次同余式组的一个更为简便的矩阵解法。     

非对易orbifold上的新孤子解

利用在非对易可积torus上的算子都有约化矩阵M这一特点,孤子解的求解问题可以化为求满足代数方程Q(M)＝0的有限维矩阵解问题.文章研究了当非对易可积torus上的算子的约化矩阵M满足非对易orbifold上算子要求时的情形.运用GHS方法,得到当势函数V(φ)具有三阶以上的极值点时,有限维矩阵方程Q(M)＝0可化为Q(M′)＝0,且Q(M′)＝0时存在可对角化的矩阵解.并通过k,q表象,构造了非对易orbifold上以上述矩阵解为约化矩阵的新孤子解.这种构造方法可以推广到其它的非对易空间.     

CAS小波求高阶Volterra积分微分方程数值解

考虑求高阶Volterra积分微分方程的数值解.利用小波的正交性质及矩阵的稀疏性,给出了CAS小波的积分算子矩阵;利用小波算子矩阵将高阶积分微分方程化为线性代数方程组,简化了计算空间;最后,通过数值算例证明了该方法的有效性,并且得到更高精度的数值解.     

关于直交变换与直交矩阵的几点注记

(一)、引言 设R是n维欧氏空间。关于R中直交变换和n级(实)直交矩阵的关系我们有如下熟知的重要结论: 定理R中线性变换为直交变换的充要条件是它关于R中标准直交基底的矩阵是直交矩阵。 分析定理条件与结论,我们提出如下问题: (Ⅰ).对于怎样的基底,任一直交变换,它关于此基底的矩阵是直交矩阵?又对于怎样的基底,任一直交矩阵,关于此基底的变换是直交变换?     

一类四元数矩阵方程的最小二乘解

利用广义自反矩阵和广义反自反矩阵的性质讨论了线性方程组AX=b和矩阵方程AX=B的最小二乘解问题.当A为广义自反矩阵或广义反自反矩阵时,可将线性方程组AX=b的最小二乘解问题化为两个较小独立的子问题;当A、B都是广义自反矩阵或广义反自反矩阵时,可将矩阵方程AX=B的最小二乘解问题化为线性方程组的最小二乘解问题,从而使这些问题的讨论得到简化.     

非线性快子场方程及其特征值

本文应用P.R.Garabedian专著“偏微分方程”中所述多复变函数论将杨学恒、刘之郕等提出的关于基本粒子结构的快子模型在能量动量空间的类时子空间中的非线性快子场方程化为复域上的一阶拟线性偏微分方程组其中为矩阵,为波函数(旋量),Ψ=Ψ~Hθ_4为Ψ的Hermite共轭波函数,z=(z~1,z~2,z~3)为复矢量,z~j=x~j+iy~j。 再利用多复变解析函数论将方程(2)化为一阶拟线性对称双曲型偏微分方程组的标准形式特征方程│λI-λ_jA~j│=0之根即为矩阵A_∑=λ_jA~j的特征值,本文利用一系列初等变换将A_∑化为对角阵A,从而求出矩阵A_∑的特征值和特征矢。     

线性矩阵方程的解空间维数问题

目的给出AX XB=0,X AXB=0型矩阵方程的解空间维数。方法运用分块矩阵和Jordan标准形对解空间维数进行讨论。结果得到了解空间维数的一般表达式。结论利用分块矩阵和Jordan标准形可以讨论与此相关的问题。     

矩阵的中心化子

与给定矩阵A乘法可交换的所有矩阵称为矩阵的中心化子,它做成线性空间Mn（F）的一个子空间．利用Weyr矩阵,得到了矩阵中心化子的基底及其维数．     

FoxBASE求解线性方程组

本文利用数据库与矩阵之间的相似性，讨论了线性方程组的求解     

一类矩阵方程的反对称正交反对称解及其最佳逼近

定义了一种新的矩阵类：反对称正交反对称矩阵,研究了一类矩阵方程的反对称正交反对称解的存在性及其最佳逼近问题。利用矩阵的广义奇异值分解,得到了该矩阵方程有反对称正交反对称解的充要条件及其通解表达式,并且给出了矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近。     

多元线性不定方程的矩阵解法

为解多元线性不定方程，通过一定的方法将多元线性不定方程转化为多元线性方程组，并对方程组的增广矩阵进行初等变换以求得其解，给出了多元线性不定方程的一种矩阵解法。     

基于对角广义反射矩阵的线性微分系统及其周期解

为了解决具有对角广义反射矩阵的线性微分系统周期解与稳定性问题,采用通过广义反射函数寻找其Poincaré映射的方法.首先在广义反射函数定义下,给出可交换线性微分系统的反射矩阵的定义及广义反射矩阵的一般形式,得到具有对角广义反射矩阵的线性微分系统的广义反射矩阵,然后通过对角广义反射矩阵找到Poincaré映射,从而得到该类系统的周期解及稳定性,并推得二维线性微分系统的周期解与稳定性.由于广义反射函数解决周期解稳定性比其他方法具有很大的优势,所以,此种方法对研究相关微分系统周期解与稳定性具有一定的参考价值和指导意义.     

基于立体视觉的机器人位姿标定技术研究

针对机器人位姿的测量,建立双目立体视觉传感器三坐标的数学模型。匹配相关的特征点,采用最小二乘法得到空间特征点的三维坐标。利用外部位姿线性方程的建立与求解确立机器人基坐标与工件坐标的矩阵关系。通过靶标法来确定机器人在某一位姿时工件坐标系和视觉传感器坐标系之间的齐次坐标变换矩阵的关系。实验结果显示,在没有噪声因素情况下,利用线性方法求解机器人外部位姿是可行的,能够满足系统精度要求。     

QR分解在方差分析中的应用

在线性混合模型的方差分量估计中,方差分析估计是一种很重要的估计方法。应用此方法估计过程中,所求的方程组的系数矩阵是上三角矩阵,很容易求得其解,然而它的计算会随着数据的增多变得既耗时又不稳定。用QR分解的方法计算方差分量的估计,不用计算投影阵及广义逆矩阵,而且参与运算的矩阵的阶数相对比较小,节约了存储空间。利用QR分解,讨论其在线性混合模型中方差分量的方差分析估计中的应用。     

An iterative algorithm in potential—field inversion

The problem of potential-field inversion can be become that of solving system of linear eqautions by using of linear processing.There are a lot of algorithms for solving any system of linear equations,and the regularized method is one of the best algorithms .But there is a shortcoming in application with the regularized method,viz.the optimum regularized parameter must be determined by experience,so it is difficulty to obtain an optimum solution.In this paper,an iterative algorithm for solving any system of linear equations is discussed,and a sufficient and necessary condition of the algorithm convergence is presented and proved.The algorithm is convergent for any starting point,and the optimum solution can be obtained,in particular,there is no need to calculate the inverse matrix in the algorithm.The typical practical example shows the iterative algorithm is simple and practicable,and the inversion effect is better than that of regularized method.     

关于高等代数中若干概念的联系

向量组的极大线性无关组与秩、线性空间的基与维数、齐次方程组的基础解系、矩阵的秩都是线性代数的基本概念,然而学生普遍感到这些概念抽象,不易理解．本文系统论述这些概念之间的本质联系,以期能对该方面教学有所帮助．     

An iterative algorithm in potential-field inversion

1　Principle and MethodAll the problems of potential- field inversioncan be concluded that of solving nonlinear functionas follows:b =f( x) ( 1 )where x =( x1,x2 ,… .xn) T,xj( j =1 ,2 ,… ,n)indicate geometricparameters and physical parame-ters of the object;b=( b1,b2 ,… ,bm) T,bi( i=1 ,2 ,… ,m) indicate potential- field measurements.Main algorithms for expression( 1 ) are leastsquare method ( include damping least squaremethod ) ,gradient method ( conjugate gradientmethod and variable met…     

线性系统单输入的2种简单的极点配置算法

对线性系统的单输入情况,提出2种简单的极点配置算法.2种方法都将未知量归结为一个线性代数方程组的解,而这个线性代数方程组系数矩阵的每一行均为系数矩阵是三角形的线性代数方程组的解.该算法计算简单,计算量少.第一种方法还同时求出配置后矩阵的特征向量,为系统设计提供参考;第二种方法的计算量更少.对第一种方法进行误差分析,证明只要计算精度充分高,都能达到对任意给定的大于0的极点配置误差要求.