谈等价无穷小在求极限中的应用

笔者探讨了分子或分母为两无穷小之差、无穷小乘以无穷大、特殊幂指函数和函数增量与自变量增量的比值4种不同情形下利用等价无穷小代替求函数极限的方法,借助无穷小的性质论证得到相应结论,说明了等价无穷小所涉及到题型广泛,并辅以典型例题分析和解答,旨在使学生理解如何利用等价无穷小代替求函数极限,达到举一反三的学习效果。     

等价无穷小的极限定理

求极限时,正确使用等价无穷小代换,可以简化计算.在求两个无穷小之比的极限时,若分子及分母满足一定的条件,可将分子、分母用等价无穷小来代换.并进一步给出求极限时,若因式中某个因子是两个无穷小之和、差时,可用等价无穷小来代换的条件;给出了求幂指函数的极限时,其底和指数可分别用它相应的等价无穷小代换的条件及相关的一些结论.     

浅析“等价无穷小替换”在求函数极限中的应用

求解函数极限是高等数学中非常重要的内容之一。在求函数极限的过程中恰当应用等价无穷小代换可以使复杂的问题简单化,文章通过具体实例详细说明了等价无穷小替换在求解函数极限中的重要性。     

一类含无穷小和差形式的极限的求法

应用等价无穷小代换的思想方法,探讨一类含无穷小和差形式的极限的求法.提出利用函数的Taylor展开式等方法,合理选择无穷小的等价形式,保持无穷小的和差整体的阶不变,可以方便快捷地求得极限.     

等价无穷小的一点注记

本文给出有限对等价无穷小的和仍是等价无穷小所需的条件,并把相应结论用于求解具体函数极限问题。     

在求函数极限过程中使用等价无穷小

在求极限过程中，用等价无穷小代替，起到了一种化繁为简的作用，在函数中也能使用等价无穷小。     

用等价无穷小代换求极限

极限理论是数学分析的核心，贯穿在数学分析的全部内容之中，也是从初等数学到高等数学的第一道坎。对极限理论的理解和处理是专业数学与其它学科的分水岭之一，因而熟练掌握求极限的方法和技巧对于学习和研究这门课程至关重要。本文讨论了用等价无穷小代换求一般极限的方法，并对具有高阶导数的函数给出了求其等价无穷小的一般方法。     

高等数学中换元法的教学探讨

换元法是极限运算中一个非常重要的内容,对于理解两个重要极限及等价无穷小,并运用其来求极限有着不可或缺的作用。然而高等数学的教材中对此却语焉不详。该文弥补看教材的缺陷,介绍了换元法的理论依据为复合函数极限运算法则,并结合等价无穷小,探讨了换元法在一元函数极限中的应用,帮助学生更好地理解极限;进一步推导出一元复合的多元函数的极限运算法则,把换元法推广到二元极限的运算。     

利用等价无穷小代换求极限应注意的问题

利用等价无穷小代换求极限可以简化计算.现在使用的高等数学和数学分析教材中,往往只给出积、商运算中等价无穷小因子的代换法则,对利用等价无穷小代换求极限的适用情况却未能提及,这一方面限制了此方法的使用,另一方面缺乏明确的代换法则,在使用时易出现错误.本文讨论了极限运算中等价无穷小量的代换问题,给出了相应的代换条件和应用实例.     

等价无穷小代换法则理论及拓展

通过探讨等价无穷小代换法则相关理论及其拓展,以及利用等价无穷小代换的相关法则、推论解决了某些有关无穷小的极限问题．     

极限思想的演变及其应用

文章举例分析在形成极限概念的过程中逐渐蕴育的数学思想。在数学史上,对无穷小量的认识推动了极限概念的形成,且得出结论:定义函数极限值与定义同一变化过程中的无穷小量互为等价关系,进而论述微积分运算建立在极限运算的基础之上。     

无穷小概念教学的5个强化

在研究“无穷小教学问题”的基础上,提出了“无穷小”教学的5个“强化”：在概念产生过程强化概念;从几何的角度强化概念;在后续的学习中强化概念;在无穷小的比较中强化概念;在符号“o”和“O”的运算中强化概念.     

几类未定式的k阶无穷小替换

应用极限的运算法则及等价无穷小替换定理,对几类幂指型及有关的未定式,把其中的无穷小用其k阶无穷小替换后,得到了未定式极限的变化规律,最后应用所得结论解决了几个未定式求极限问题.     

多元函数极限中几个问题的释疑

计算多元函数的极限时,许多情况下可以应用等价无穷小、两边夹法则等方法。如果多元函数的极限不存在,经常讨论动点以不同路径趋于定点,而函数以不同的趋势变化,得出极限不存在的结论。经常选取的路径有y=kx,或者计算两个不相等的二次极限等。在计算多元函数的极限时,由于动点的变化方向、方式复杂多样,选取不同的路径用来分析函数的不同变化趋势,或者计算两个不相等的二次极限,能否得出多元函数极限不存在的结论,与聚点邻域的形状有关。本文对计算多元函数极限的几个问题作了初步的探讨。     

极限与无穷小辨析

极限与无穷小是微积分中的基本概念,是整个微积分学的理论基础.极限是运动与静止的统一;极限可以被看作是函数变换器;极限是连接有限与无限的桥梁.极限与无穷小有着密切的关系,借助于极限,可以深刻地理解无穷小的本质.反过来,无穷小思想也是对极限思想的补充.深刻地理解极限和无穷小的实质,对学习微积分是十分必要的.     

等价无穷小在极限运算中的应用

讨论了等价无穷小代换在极限运算中的应用.推广了相关文献的结果,同时给出了这些结果的证明和应用.     

几种特殊形式的等价无穷小代换

探讨了乘积中等价无穷小代换存在的一个问题,并提出了改进意见;给出了一类特殊代数和下的等价无穷小代换方法;推广了积分形式中的等价无穷小代换法。