关于模p的一类同余方程解的个数

设p是一个奇素数且满足3|(p-1)。对任意整数k_1及k_2且满足(k_1k_2,p)=1,设N(k_1,k_2;p)表示同余方程k_1x~3+k_2y~3≡1mod p的解的个数,其中0≤x,y≤p-1。该文的主要目的是利用解析方法,高斯和的性质以及S.Chowla,J.Cowles和M.Cowles等人的重要工作研究N(k_1,k_2;p)的计算问题,并给出它的一个精确的计算公式,同时提出几个未解决的问题。     

费马数与伪素数

如果合数N满足2N≡2(modN),则称N为伪素数.本文运用数论中的一些简单结果,如任何费马合数都是伪素数以及费马小定理(若p为素数,a为整数,且(a,p)≡1,则ap-1≡1(modp))等,给出了N=FS1FS2…FSk为伪素数的充要条件:S1≤2S2-1且Sk≤2S1-1,这里S1＜S2＜…＜Sk,FS=22S+...     

广义Lehmer数的渐近行为（英文）

整数a称为模p的Lehmer数是指1≤a≤p-1且a+a~(-1)为奇数,其中a~(-1)表示a模p的逆.令M_p为模p的Lehmer数的个数.1994年,张证明了■.设整数c≥2,整数d∈[0,c-1].对每个素数p≡1(mod c),如果a+a~(-1)≡d(mod c),则称整数a为关于模p的(c,d)-Lehmer数.令M_(c,d,p)表示模p的(c,d)-Lehmer数的个数.本文得到■,推广了张的结果.     

关于a（mod p）≤b（mod p）＋2

Erd s等于1987年曾证明了:对于正整数a,b,如果对所有素数p,a,b被p除所得余数分别为a(modp),b(modp),都有a(modp)≤b(modp),则a=b.本文研究对哪些正整数a,b,满足对所有素数p,恒有a(modp)≤b(modp) 2,并对1≤a≤7,确定了所有的b.     

关于四次剩余码及其推广

设p,q是两个不同的素数且p≡1(mod4),qp-14≡1(modp),β是Fp中的一个本原元素,α是Fq的某个扩域中的一个本原p次单位根.令R0={β4i(modp)|1≤i≤p-14},g0(x)=∏j∈R0(x-αj).Fq上长度为p,由g0(x)生成的循环码称为四次剩余码,证明了这样码的极小距离d≥4p,并且将本结论推广到任意自然数n(n≥5).     

LehmerDH数在模p剩余系的分布

设 p≥ 3为素数 ,集合A ={a|1≤a 相似文献   

关于阶乘模p的序列Ⅱ

研究了模p的序列(n1!)k … (nl!)k≡λ(modp),其中p是奇素数,k是正整数且1≤k≤p(1-1/loglogp).lk(p)表示最小的正整数使得对任意的整数λ,上述序列均有正整数解.证明了lk(p)=O((logp)3loglogp.k(1 1/loglogp)).     

关于三次剩余码

设p、q是两个不同的素数且p≡ 1(mod3) ,qp - 13 ≡ 1(modp) ,β是Fp 中一个本原元素 ,α是Fq 的某个扩域中的一个本原p次单位根 ,R0 =β3i(modp) |1≤i≤ p -13,go(x) =Πj∈Ro(x -αj) .Fq 上长度为p由go(x)生成的循环码称为三次剩余码 .证明了这样码的极小距离d≥3 p .     

一般三次循环数域的类数同余公式

设K 为有理数域Q 的任意三次循环扩张,其类数为h,导子为f,特征群为〈X〉.存在单位E=(x+y■+■)/3,x∈Z,y∈Q(■),使得E 及其共轭及-1生成K 的单位群,其中■=∑X(a)exp(2πi/f)~a 为Guss 和.记iv 为Teichmüller 特征(modp),X_n=Xiv~(-n),e=(p-1)/3.我们证明了■(modp),其中p∈Z 为任意素数,3≠p|f,常数c=(x~3-27)/(fx~3)-y■/x~2.特别,当f=p为素数时,hc≡3/4B■B~(2■)(modp),这里B■(B_■,x)为(广义)Bernoulli 数.对p■f 也得到类似的公式.     

2—有向循环图的同构

本文得到了2-有向循环图 G(a,b,N)与 G(a＇,b＇,N)同构的充要条件为:(a,b,N)=(a＇,b＇,N)=K且 a＇b≡ab＇(mod KN);或 a＇a≡b＇b(mod KN),这里(x,y,z)表示整数 x,y,z 的最大公约数。     

关于x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2型通用和（英文）

设整数a,b,c,d,e,f满足ab≥0,cd≥0,ef≥0,a≡b (mod 2),c≡d (mod 2),e≡f (mod 2),a≥c≥e≥2,a=c时b≥d,c=e时d≥f.最近作者证明了如果有序六元组(a,b,c,d,e,f)在整数环上通用(即每个n=0,1,2,…可表成x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2的形式,其中x,y,z为整数),则它必在我们列出的12082个有序六元组中.本文中我们明确列出那12082个有序六元组并分析这些数据,还证明了许多满足a≤10的有序六元组确在整数环上通用.     

由D.H.Lehmer问题生成的伪随机二进制数列

给出D.H.Lehmer问题的一个推广,由此生成一种新的伪随机二进制数列.设p为奇素数,k为正整数,对于1≤n≤p-1,定义en=1,2|p{nk/p}+p{nk/p},-1,2  p{nk/p}+p{nk/p},其中表示n关于模p的逆,满足1≤≤p-1,且n≡1(mod p),Ep-1=(e1,…,ep-1).利用...     

正整数被素数p整除的判别法

设p是素数且p≠2,5,|k|是满足10k≡1(mod p)成立的最小正整数,Mn=n∏i=010iai(0≤ai≤9,i=0,1,…,n,an≠0).运用数学归纳法证明了:若对?i=0,1,…,n-1,有bi+1=kci+ai+1,bi+1≡ci+1(mod p),其中c0=a0,|ci+1|≤p-1/2,则p|Mn?p|bn.     

关于高斯函数的几个恒等式

对高斯函数的两个恒等式:[x]+[x+(1/m)]+…+[x+((m-1)/m)]=[mx],其中x∈R,m∈N;[kq/p]+[kp/q]=((p-1)/2)·((q-1)/2),其中 p、q 是正奇数且(p,q)=1,以及 Tom.M.Apostol 的一个问题“若 a=1,2,3,4,5,6,7.证明存在一个(依赖于 a 的)整数 b,使得[k/8]=[(2n+b)~2/8a]”,作了进一步的推广,得到一般性的结论.     

群环的幂等稳定度1

设a∈R,如果对环R元素b,满足aR+bR=R,则存在幂等元e∈R,使得a+be有左逆,那么称元素a有幂等稳定度1(记为isr(a)=1).如果对于R中的所有元素a,都有isr(a)=1,那么称环R有幂等稳定度1(记为isr(R)=1).证明了若R是半完全环,G是初等阿贝尔p-群,则isr(RG)=1.另外,若isr(R)=1,G是局部有限p-群,且p∈J(G),则isr(RG)=1.     

关于 A~2+pB~2可化为完全平方数的条件

通过探讨关于整数 a、b 的二次三项式在什么条件下表示一个完全平方数,得到了 A~2+pB~2,pa~2+(2p-1)ab+pb~2,pa~2+(2p-4)ab+pb~2表示完全平方数的条件.     

威尔逊定理的两个推论及应用

初等数论中,威尔逊定理:“整数p≥2,当且仅当(p-1)！+1≡0(modp)时,p为素数。”是判定一个整数p≥2是否为素数的基本定理。 给定一个较大的整数p,(p-1)！是一个很大的数,利用威尔逊定理来判定p是否为素数是不方便的;但可以利用定理的充要性及用余性质来解决一些实际问题。下面介绍威尔逊定理的两个推论及应用。     

杨辉三角与素数的关系

设p为素数,s,t∈N,a=t∑i=0 aip^i,r=s∑i=0 rip^i,这里ai,ri∈N,0≤ai≤p-1,0≤i≤t,0≤ri≤p-1,0≤i≤s,证明了Ca^r=Ca0^r0…Cas^rs（mod p）和Ca＋r^r≡Ca0＋r0^r0 Ca1＋r1^r1…Cat＋rt^rt（mod p）两个同余式．据此导出了杨辉三角的第a行以及第0行至第a行的二项系数中,使Ca^r≡0（mod p）的个数和使Ca^r≡0（mod p）的个数,推出了斜列{Ca＋r^r：r=0,1,…}中使Ca＋r^r≠0（mod p）的个数和使Ca＋r^r≡0（mod p）的个数．     

套代数上的Lie导子的特征

设H为Hilbert空间,N为H上的完备的子空间套,AlgN为相应的套代数,若线性映射δ:AlgN→AlgN满足,任给a,b∈AlgN,当ab=0时,有δ([a,b])=[δ(a),b]+[a,δ(b)],则存在r∈AlgN,使得任给a∈AlgN,有δ(a)=ra-ar+τ(a)I,其中线性映射τ:AlgN→C满足,任给a,b∈AlgN,当ab=0时,τ([a,b])=0。     

一类含有调和数的同余式（英文）

该文目的是创建一系列含有调和数的同余式.当p3为一素数时,利用已有的组合恒等式和同余式,得到了如下的同余式:∑p-1k=1k~2H_k~2≡79/108p-4/9(mod p~2)和∑p-1k=1H_k~3≡23/18(mod p).同时也得到了∑(p-1)/2k=1H_k~2/k≡-8/3q_p~3(2)+1/6B(p-3)(mod p)和∑(p-1)/2k=1H_(2k)~2≡-1+1/2q_p~2(2)(mod p),这里Bn(n∈N)称为Bernoulli数,当pa时,q_p(a)=(a~(p-1)-1)/p称为Fermat商.