利用实积分证明Cauchy积分公式

本文利用实变函数积分中值定理,结合Cauchy积分定理在复围线推广形式,用实变函数积分的方法证明了复变函数论中的Cauchy积分公式。证明过程简单易懂。     

关于Riemann积分的变量代换公式

关于在确定区间上的变量代换问题是积分学的中心问题之一.在一般文献中的 Rie-mann 积分(以下简称 R 积分)的变量代换公式,多见于在条件较强的情况下给出了证明.本文是在条件较弱的情况下,利用 R 积分与 Lebesgue 积分(以下简称 L 积分)的关系.得到关于 R 积分的变量代换公式.为了便于比较,我们仅列出常见的变量代换定理.而略去证明。     

试论积分第一中值定理

以微积分基本定理为桥梁,利用实变函数论中的一些重要结果与函数逼近论中的Weierstrass第一定理及其Bernstein证明,在条件减弱的情形下,获得了比通常的积分第一中值定理更强的结论,且试图揭示积分第一中值定理与微分中值定理间深刻的联系.     

关于(L)积分与(R)积分之間联系的进一步探讨

<正> 研究(L)积分与(R)积分之间的联系,对于分析学中许多问题的转、处理无疑是有益处的.例如运用(R)积分与(L)积分之间的关系去证明Arzela定理就很容易(证明附后).又如,(L)积分中有很多关于积分号与极限符号换次序的定理,对它们的稍作改变,並利用(R)积分与(L)积分之间的联系,可以使之成为(R)积分中积分号与极限符号互换次序的充分条件(结论附后),这比起仅把一致收敛作为(R)积分中积分号与极限     

《实变函数论》学习辅导

实变函数论是现代数学的重要基础,它广泛应用于数学的许多分支中,如概率统计。随机分析、偏微分方程、动力系统、付里叶分析、小波分析、泛函分析、拓扑学和分形几何学等。每个想了解并且掌握现代数学的人,都应该认真地学习实变函数论这门课程。实变函数论的中心任务是建立一种较之旧的积分——Riemann积分更为一般的,使用起来更为便利的新的积分——Lebesgue积分。在新的积分理论意义下,许多重要的结论被—一发现,例如函数是Rie。lann可积的等价于它是几乎处处连续的;积分与极限交换不必要求函数列的一致收敛性;函数的非负可测性…     

勒贝克积分中关于积分号下取极限的问题

积分号下取极限,是实变函数中一个重要的问题.在Riemann积分中,解决这类问题往往需要较强的条件.(比如:一致收敛性.)但在不少实际问题中,往往需要减弱解决这类问题的条件.L积分理论较园满地解决了,有关积分号下取极限的问题.与R积分相比,它成立的条件要弱得多.本文就L积分中,关于积分号下取极限的问题,     

(R)可积函数列逐项积分的充要条件

通过对点态收敛(R)可积函数列积分运算与极限运算可交换条件的讨论,引进了弱一致(R)可积的概念,从而给出了闭区间上(R)可积函数列积分运算与极限运算可交换的充要条件.     

Riemann 广义积分与Lebesgue积分的关系

由于L积分具有绝对可积性,而R广义积分不必为绝对收敛,因此L积分虽是R积分的推广,却非R广义积分的推广,探讨在某些条件下L积分与R广泛积分的相互蕴含关系,以便直接用R广义积分的剑散性来判别函数的L可积性,同时得出了它们在数值上的关系,为计算L积分也是提供了方便。     

正规积分小波变换及其连续性

引入并研究了正规积分小波变换W0ψ,讨论了与之相关的算子Dβ,Tα,Ff 及积分算子Λh 的连续性 ,证明了正规积分小波变换W0ψ 是从L2 (R)到C(R×R )∩L2 (R2 )中的线性等距 ,并给出了相应的Parseval等式     

Riemann积分与Lebesgue积分的差别

本文指出Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别在于空间的完备性上。区间(a,b)上所有Riemann可积函数所生成的空间R[a,b]是不完备的;而所有Lebesgue可积函数所生成的空间L[a,b]是完备的。     

利用留数计算实反常积分的反思

在复变函数类教材中,均有在f(x)满足一定条件下,利用留数定理计算反常积分∫f(x)dx的内容,而常-∞+∞见的是f(x)取有理函数R(x)时的积分∫R(x)dx.有些教材不论R(x)在实轴上无奇点还是只有孤立简单极点都-∞认为收敛,混淆了两种不同的收敛概念;而不管R(x)在实轴上奇点的类型、不加以限制也得出相似的结论是不妥的.     

谈建构主义思想在实变函数论中的体现

实变函数论是微积分知识的深化，在思想方法上即有着较大的飞跃，如何能够较好地适应这一过渡，是历来函数论学习的主要问题，以建构主义的理论为基础，以实变函数论中Lebesgue积分的引入为例来探讨这部分知识结构的建构性本质，希望对函数论学习有所帮助。     

残数在定积分中的应用

残数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,除供计算积分的新方法外,本身也是复变函数论的重要理论,尤其是它在实际问题中的应用,更是不可忽视。本文着重介绍某些类型的实积分的应用,从解法入手,并分别给出实例。     

复变函数论典型环路积分的理论分析

对复变函数论中一特殊而又典型的含奇点的环路积分 ,利用复变函数论中的科希定理与科希积分公式、级数展开理论、孤立奇点的留数定理以及留数和定理 ,分别以 4种不同的解法详细地进行了讨论 ,并阐明了复变函数论中的诸理论及其相互关系 .利用典型积分的计算方法并加以推广 ,可得出许多重要的结论 ,这些结论能简化一些复积分的计算 .     

关于非线性运算的积分

最近一个时期,在数学界,非线性分析被广泛的重视起来了。而“分析”中最有力的工具是微分与积分。我在1957年曾讨论过汎函数的积分,本文想把对于汎函数的积分方法,用在非线性运算上,关于非线性运算的积分的讨论,据?者所知还不多见,本文也可以说是一个探索性的研究,为了这一目的,将用加头(Gateaux,R)及Bochner的积分概念来建立非线性运算积分的概念。     

关于Lebesgue积分极限理论体系的教学方法探讨

本文对Lebesgue积分极限理论体系的教学方法作了探讨．指出该理论体系的核心定理是Levi单调收敛定理,再由核心定理推导其它定理将使该理论体系简洁明了,找到本质所在可起到事半功倍的作用．同时指出目前国内普遍采用的《实变函数论》教程中关于三大Lebesgue积分极限定理相互等价的说法具有不妥之地     

勒贝格积分极限定理记注

在实变函数中的定理比较难理解,凭直观又无法想象出来,论文中讨论的是勒贝格有界收敛定理,勒贝格基本定理;勒贝格积分极限定理;勒维(Levi)定理;法都引理中条件的不可缺少,积分极限定理的应用。     

(l)空间的绝对连续函数

本文第一节是仿照实变函数论中关于绝对连续函数的定义,给出了定义在实数区间而取值于(B)型空间的向量函数的绝对连续函数的定义,并导出一些简单的结果。第二节是讨论(l)空间的绝对连续函数,得到几个充要条件。第三节对(l)的向量函数,导入微分、积分的运算,得到定积分的基本定理。     

实轴上含有极点的有理函数积分及其Cauchy主值

对复分析中有理函数的积分条件进行削弱.讨论有理函数R(z)在半实轴x≥0上无极点时的反常积分;R(z)在半实轴x≥0上只有简单极点z=1时的反常积分的Cauchy主值(P.V.).建立 R(x)dx(或其Cauchy主值)与残数间的关系式定理.     

关于(R(L),⊙)的等价刻划

Rodabaugh1985年定义并讨论了Fuzzy实直线R(L)上的乘法运算.本文对Rodabaugh的乘法运算作了简化,给出了它的一个简明的等价表达式,对Fuzzy 实直线R(L)上的加法运算也作了讨论,最后证明了R(L)上两个LF连续映射的和与乘积都为LF连续的.