数学悖论研究

悖论是一种特殊的逻辑矛盾,它具有相对存在性、可解决性、创新性等特点。在数学发展史中,最著名的3个悖论分别是“毕达哥拉斯悖论”、“贝克莱悖论”、“集合论悖论”,悖论对数学发展起着巨大的推动作用。研究悖论对数学的发展和数学教育都有一定的现实意义。     

关于悖论的哲学思考

逻辑哲学作为现代西方哲学中的一门显学,其诞生与悻论的刺激不无关系。特别是“从六十年代到七十年代期间,西方的逻辑学家们要求哲学家们来支援他们”,他们认为数学中和逻辑学中的那些悻论“与其说是数学问题,还不如说是哲学问题更恰当些”,认为最终解决悖论“非靠哲学不可”[1]。对于这种看法,笔者认为确有道理。纵观悻论研究的历史,凡是那些分析解决悖论的有价值的思想和方法,无不与哲学有关。中国大百科全书哲学卷曾这样定义悖论：“指由肯定它真,就推出它假,由肯定它假,就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为：一个命…     

狭义相对论的滑落悖论及其解决方案

本文阐明,在狭义相对论中,存在滑落悖论,它揭示了狭义相对论单纯强调运动的相对性而否定运动的绝对性所导致的深刻的逻辑矛盾.如果承认存在绝对参考系,按斐兹杰惹一洛伦兹长度收缩效应和洛奇一洛伦兹时间延缓效应,就可以消除滑落悖论,以绝对参考系原理和回路平均光速不变原理为基本假设所建立的标准时空论,逻辑严谨,符合迄今为止的所有观察实验事实,并且将斐兹杰惹一洛伦兹长度收缩效应和洛奇-洛伦兹时间延缓效应,包含在自己的逻辑推论之中.在标准时空论中,不存在滑落悖论.     

逻辑数学悖论及其解决

逻辑——数学悖论是指仅借助于逻辑和数学的符号而得以构造的悖论。从历史发展看，其主要是指布拉里——福蒂（Burali—Forti）悖论，康托悖论和罗素悖论，它们分别是在1897、1899及1902年提出的。逻辑——数学悖论的出现，明确地表明素朴集合论中包含有逻辑矛盾。解决逻辑——数学悖论，必须对康托的素朴集合论加以限制，特别是必须抛弃前面所提到的概括原则。按策梅罗的研究成果，只须对公理适当地加以选择，就可做到既能使新建立的集合论能成为数学的基础，同时又能确保新的理论不会导致悖论。     

论悖论的认识论根源

对于悖论的认识论根源,可从认识的主客体双方进行分析。从主体方面考虑,主体的认知水平和推断能力是悖论产生的基础;从客体方面考虑,认知客体的复杂性及科学理论自身可能存在的缺陷或不完备性是悖论产生的基础。悖论的出现是人类认识深化的表现,又是人类深入实践的产物,并不同程度地推动着认识的深化和科学理论的发展。     

悖论和数学哲学

本文主要讨论希帕索斯悖论、贝克莱悖论和罗素悖论跟数学危机、数学哲学的关系,重点是罗素悖论及其所引发的数学基础的重建,同时提出笔者对数学真理性的一些看法.     

论“罗素悖论”在数学发展中的作用

20世纪初的“罗素悖论”导致的关于数学基础三大学派的论争，虽然由于哥德尔定理的出现而没有得到明确的结论，却为数学领域增添了新的数学理论，并且深化了对数学基础的认识，从而推动了数学的发展，产生了现代数学．     

弹性力学广义变分原理中的一个悖论

先从一个数学例题说明任意地应用变分法基本引理可能导致一个悖论,进而论述在弹性力学三类变量的广义变分原理中也出现了类似的悖论,最后指出:弹性本构关系不可能充任变分学中的Euler-Lagrangn方程。     

好玩的数学：七巧板悖论

所谓悖论,指的是这样一种命题:如果认为它是真的,则它是假的;如果认为它是假的,则它又是真的。在数学和逻辑学中出现悖论,是科学家历来十分关注的一个问题;悖论的解决则会极大地推动科学的发展。芝诺的“飞矢不动”、罗素的“理发师悖论”等,都是著名的悖论。在七巧板拼图中也出现了有趣的“悖论”。下面2个用同一副七巧板拼出来的人形,几乎一模一样,但一个有脚,另一个却没有脚。这是怎么回事呢?它们是怎么拼出来的呢?请你试试看。答案见下期。上期“千变万化的七巧板”答案用一副七巧板拼出三角形、平行四边形或等腰梯形的参考拼法如下。实…     

“始基本体论”批判

“始基本体论”是人类历史上最早的哲学形态,它认为世界上的事物虽然是多种多样的,但这些事物都有某种共同的“始基”。东西方在这方面有共同之处,古希腊的米利都学派、恩培多克勒,中国的“五行”说,印度的“五大”,都把水、火、气、土、风等具体的物质形态当成世界的“始基”,说明人类最早根据实践的需要而作出的哲学探索是唯物主义性质的。“始基本体论”的历史价值在于：它从人类的神话中解脱出来,用物质性的存在解释世界,标志着哲学的诞生;它把客观的物质存在与运动变化结合起来,实现了唯物主义与辩证法思想的朴素统一。“始基本体论”的历史局限性是时代造成的,对此不应苛求。     

旋转体面积与体积的悖论和物质模型

任何科学理论都只能建立在理想物质模型之上,考察并且讨论"油漆匠悖论"可以看到在理想模型与科学实践中存在不可解决的矛盾,通过进一步的数学推演发现旋转体面积与体积之间的矛盾具有普遍性,即理想模型与实践的悖论.其中原因既有模型本身的不完善因素,也有对模型类型的混淆所造成的.从建立新物质模型的角度出发,着手寻找原有模型的缺陷,从而解决一些尚未解决的悖论."油漆匠悖论"问题中,计算油漆涂层的厚度,涉及到的物质模型应该是物质存在最小单位——分子的非连续的物质模型;而数学上微积分的物质模型则是连续的无限可分的,正是对这两种模型的混淆才造成该悖论,并通过建立新模型合理解释了该问题.从中引出认识:建立在理想物质模型上的科学理论都会遇到不可解决的问题,而任何科学理论都只能建立在理想物质模型之上,因此科学理论是无止境的、必然进化的和可追逐的.     

从两个狭义相对论悖论看"事件"的地位

分析了两个狭义相对论的悖论，指出了狭义相对论与经典物理学的基本区别之一为：经典物理学的分析对象主要是以时空为载体的物质，而狭义相对论的一个隐含的求以事件间的联系为分析的主要对象，这一点对相对论的进一步深入有一定的启示作用。     

悖论及其意义

悖论是属于领域广阔、定义严格的一个数学分支，具有重大的理论价值和教育学价值。教师在数学教育中引入悖论，可以激发学生学习数学的兴趣，领会数学的深刻思想，提高对现代数学所具有的美妙、多样甚至幽默性质的鉴赏力。     

悖论及其意义

悖论是属于领域广阔、定义严格的一个数学分支，具有重大的理论价值和教育学价值。教师在数学教育中引入悖论，可以激发学生学习数学的兴趣，领会数学的深刻思想，提高对现代数学所具有的美妙、多样甚至幽默性质的鉴赏力。     

“蠕虫与橡皮绳悖论”释疑

悖论是领域广阔、定义严格的数学分支，有些直观浅显的问题却蕴含较为深奥的数学原理，“蠕虫与橡皮绳”是关于时间的悖论，它的研究涉及到高等数学中的导数意义、调和级数、线性微分方程等知识内容。     

悖论对数学发展的影响

通过对数学史上一些重要悖论的分析说明“悖论的产生——悖论的解决——新悖论的产生”这个循环过程是数学思想和方法获得重大发展的过程。     

罗素悖论与逻辑主义

本文为纪念罗素逝世二十周年而作。文中简介了在本世纪初极大地震动了数学界、逻辑学界和哲学界的“罗素悖论”,以及数学基础与数学哲学研究的三大流派之一、以罗素为代表的逻辑主义派的观点与方法,从中引出对于认识论的某些思考。     

批评的悖论与反思

文艺批评是一种带着理论眼光来看待以文艺作品为中心的文艺现象的操作活动。文艺批评作为操作是被工具化了的，在某种意义上人们对它熟视无睹，至多有时文论家们来操讨一番它的理论基础和新的可能途径。这样，批评本身就被忽略了，它的内部关系也缺少有效梳理。韦勒克曾说：“二十世纪是批评的世纪”，在文艺学各学科中，批评的发展速度与其被研究重视的失调是最为突出的。本文就是针对这种状况来进行尝试性的探讨。在文艺批评理论中，早就有人指出过批评的一些体论。如批评有一个基本原则是作品中部分的意义有赖于作品总体的意义，总体意义…     

系统思维悖论的哲学探讨

从悖论角度看系统论，它为现代科学研究提供了一种新的思维原则。系统思维的悖论特征集中表现在事物的整体与部分的辩证关系上。文中论述了整体性悖论及其哲学基础和方法论意义；马克思主义哲学为系统思维悖论奠定了哲学基础；系统思维悖论具有普遍的方法论作用和认识论意义；对综合与分析等传统范畴给予了新的说明。     

"师生悖论"精析

本文通过逻辑证明、数学证明和原则性实践证明给出一个确凿的超出形式逻辑框架的真矛盾——“师生悖论”，以此阐明无限具有真矛盾本质和数学在本质上不协调。