样条浅释

样条(函数)在数学理论、计算与应用中确乎起着有效的作用,这一事实已是众所周知的了。本文想把样条理论的最基本的事实加以解释,作为进一步研读的基础。我们的叙述采取最常用的容易接受的,而不单纯追求巧妙。 1.样条逼近首先回忆微分中的两件事:一、用多项式逼近已知函数(Taylor)或用三角多项式逼近周期函数(Fourier)。二、求定积分的逼近值时,把积分区间a,b]等分成小区间。然后,在每个小区间用不同的次数相同的多项式来逼近被积函数。就整个原来的区间a,b]而言,这些多项式所构成的函数叫分段多项式,上述的相同的次数叫它的次数。例如,矩形公式用的是0次分段多项式,即阶梯函数,一一注意,这时,它在每个分点上一般是不连续的;梯形公式用的是一次分段多项式,Simpson公式用的是二次分段多项式一一注意,后二情形中在分点上导数一般不连续。也可以用三次分段多项式。还请注意,分段多项式与被逼近的函数在分点上,取相同的值。