置换表成两个轮换之积的条件与方法

1951年,O.Ore证明了在对称群Sn中任一偶置换都是换位元素。O.Ore并指出,交错群An中任一元素都可以表成An中元素的换位元素。N.It证明了这一结论。这个问题等价于把An中元素表成两个共轭元素之积的问题。1972年,E.Bertram把这个问题推广,找出了Sn中任一偶置换都可表成两个t-轮换之积的关于t的条件,并相应地给出了Sn中任一奇置换都可表成一个t-轮换与一个(t+1)-轮换之积的关于t的条件。1978年,G.Boccara也讨论了这个问题。本文应用构造的方法得到了更广的结果,即Sn中一个置换表成两个轮换之积时,这两个轮换的长度t_1、t_2所满足的条件,以及当t_1、t_2满足条件时,把这个置换表成一个t_1-轮换与一个t_2-轮换之积的公式。作为推论,本文不仅得到了与E.Bertram同样的结果,并且还得到了将置换按型长及次数分类时,相应的关于t的条件。