关于不定方程p~n+q~n=q~(n-2)r~2

徐肇玉曾猜测当n≥3时,不定方程:p~n+q~n=q~(n-2)r~2 (1)无正整数解(或条件改弱为n 为奇数或偶数时),同时指出若此问题得到解决将有许多不定方程的无解性迎刃而解。此推测是否为真,现在还不能断言。徐更生对不定方程(1)讨论(2)指出:当n 为偶数时不定方程(1)与Fermat 大定理密切相关。利用现有的Fermat 大定理的结果,对徐肇玉的猜测所能言者,只是当:4≤n(2丨n)≤100000和n(4丨n)≥100000时为真;而当n 为奇数时,还没有什么结果。本文指出:当n=3k(k>1)时,徐肇玉的猜测是正确的;但当n=3时猜测不真,并给出此时不定方程(1)的所有正整数解。