关于线性空间被其真子空间覆盖问题

一般线性代数理论中有这样一个结论:V为数域(有理数域、实数域或复数域)Ω上的n维线性空间,V_1,V_2,…,V_m为V的维数小于n的子空间,则必存在向量(?)∈V,使(?)(i=1,2,…,m)。或称V不被V_1,V_2,…,Vm所覆盖。本文作如下两方面推广:1.Ω为有限域的情况;2.Ω为一般域,子空间个数为任意个的情况。定理1.Ω为有ι个元的有限域,V为Ω上的n维线性空间,V_1,V_2,…,V_m为V的维数小于n的子空间,且m≤ι,则存在(?)∈V,使(?)(i=1,2,…,m)。证明:对m应用归纳法。m=1≤ι时,显然成立。设m=k≤ι-1时定理成立,今证m=k+1≤ι时亦真。