积分学基本定理

这文章证明了如下的积分基本定理: 假定f(x)是定义在区间a,b]上的实函数,同时, (ⅰ) 它的右上导数D~+f(x)>-∝,右下导数D_+f(x)<∝,在(a,b)上至多除掉一个可列集Γ以外处处成立, (ⅱ) f(x)在(a,b]上处处在半连续, (ⅲ) 对所有的x∈Γ成立, (ⅳ) 存在一个L可测的实函数ψ(x),使D~+f(x)≥ψ(x)≥D_+f(x)在a,b)上几乎处处成立,而且max{ψ(x),0}(或min(ψ(x),0})在a,b]上可积,那末ψ(x)在a,b]上可积;而且 这里,有关的积分概念可以是Lebesgue的,也可以是Perron的。定理关于ψ(x)这种函数可积分的判断有它独立的意义。证明中吸收了I.S.Gal的方法,同时弥补了原作者忽略的部份。 文章最后举例说明定理的几个条件的相互独立性和对于定理的成立的必要性。