群体基因频率的世代演替模型及稳定性讨论

群体基因频率是某一个基因座位上的各复等位基因在群体中的相对频率。如果有两个(或两个以上)复等位基因的相对频率改变,则该群体基因频率即发生了变化。定义1:若群体在某个基因座位上有n个复等位基因α_1,α_2,…α_n,它们在第m代的基因频率为p_(im)(i=1,2…n),则该基因座位的群体基因频率可用一个n维向量P_m表示,其中分量p_(im)≥0(i=1,2…n)且n个分量p_(im)的和为1。如果群体是一个大而随机交配的群体,那么第m代群体基因型频率为A_m=P_m·P_m~*(P_m~*为P_m的转置阵)。定义2:若基因α_i突变成基因α_j的频率为μ_(ij),回复突变的频率为μ_(ji),因迁移,选择而引起的基因α_i的改变为μ_(ii)=μ_(ii)~M μ_(ii)~S,那么从第m代到第m 1代群体基因频率的变化可用一演替矩阵π_m表示。P_(m 1)和P_m之间的关系为P_(m 1)=μ_m~(-1)π_mP_m。μ_m~(-1)为归一化常数,以保证第m 1代群体基因频率的n个分量p_im 1之和为1。定义3:若当m趋向无穷大时,P_m的每一个分量的极限都存在,则我们说群体基因频率P_m是极限稳定的。定理1:群体基因频率稳定的充要条件是矩阵π_m的特征方程有正实根,而第m代基因频率向量则正好是这个特征值所对应的一个特征向量。定理2:当μ_(ii)=0,μ_(ij)(i≠j)不随世代而变时,群体基因频率必将趋于极限稳定。作为特例,当n=2时,我们的结果与遗传学中的结论是一致的。

A Model of Succession of Generations and Stability of Population's Gene Frequency