一元初等方程的等价问题

在将方程变形时,所得方程与原方程有时等价有时不等价。究竟哪些变形使方程等价,哪些变形使方程不等价呢?这个问题在现有的参考书上已有所论述,但还不够系统和完善。这里我们将在实数范围内进一步讨论这个问题。先介绍几个概念。若方程f(x)=g(x)中f(x)、g(x) 都是一元初等函数,则称该方程为一元初等方程。若方程f(x)=g(x) (1) 的任一解都是方程F(x)=G(x) (2) 的解,反之,方程 (2) 的解也都是方程 (1) 的解,也就是说两方程的解集相同,则称它们为等价方程。若两方程不仅解集相同且每个重根的重数也都相同时,则称它们为严格等价方程。本文只讨论等价方程而不讨论严格等价方程。为叙述方便再作如下约定:下面所说方程是指一元初等方程;所说的函数是指一元初等