关于丢番图方程x~4 kx~2y~2 y~4=z~2

的研究已有很长的历史.Fermat,Euler,Legendre,Lucas等均有过工作,1914年,Pocklington对(A)仅有平凡解的情况给出了6个判定定理,并在总结前人结果的基础上列出了-100到100间的56个k值,对这些k值(A)仅有平凡解xy=0(以下此表简称P表)注.1969年,Mordell在中重新提出方程(A)。1978年,Sinha利用Mersenne素数的性质给P表增添了一个新值k=30.本文给出处理(A)的一种较为一般的方法,并给出一系列命题以判定(A)仅有平凡解,从而给P表增添了18个新值。k=32,39,40,46,50,54,58,72,75,76,80,82,-33,-34,-41,-46,-57,-58.鉴于Baker的“有效方法”不能处理方程(A),因此,对所有的k值判定(A)的解看来是很困难的.