全错位排列数公式的某些应用

考虑一个随机试验。假设把n个元素a_1,a_2,……,a_n随机地排到第1号,2号,……n号位置上去(一个位置上放一个元素)。如果每个元素a_i均不在第i号位置(i=1,2,……n),则称此排列是这n个元素的全错位排列,所有这种排列的个数叫做这n个元素的全错位排列数,记作Q_n。 显然,Q_1=0,Q_2=1,Q_3=2一般地,有人证明了(见[1],)对一切不小于2的自然数n,Q_n=n![1/2!-1/3!+…+((-1)~n)/n!] (1) 这是欧拉等人研究过的“错放信笺问题”的一劳永逸的答案。