连续函数零点存在定理的新证明

传统的教科书中,在证明连续函数的零点存在定理时,都是采用区间套的方法,在此我们用确界的定义,直接证明零点存在定理,方法简单明快.零点存在定理:若ｆ(ｘ)∈Ｃａ,ｂ],且ｆ(ａ)ｆ(ｂ)<0,则存在ｘ0∈(ａ,ｂ),使得ｆ(ｘ0)=0.　　证明　不妨设ｆ(ａ)>0,ｆ(ｂ)<0令β=ｓｕｐ{ｘ:ａ≤ｔ≤ｘ且ｆ(ｔ)>0},显然ａ≤β≤ｂ.因为若ｆ(ｘ)∈Ｃａ,ｂ],且ｆ(ａ)>0,则ａ<β≤ｂ,且对任意的ｘ∈α,β),ｆ(ｘ)>0,所以ｆ(β)=ｆ(β-0)≥0,又ｆ(ｂ)<0,所以ａ<β<ｂ,我们有ｆ(β)=0.事实上,若ｆ(β)>0,由于ｆ(ｘ)在β点连续,所以存在δ>0,对任意的ｘ∈(β-δ…